64
что недиагональные элементы (
i
≠
k
) тензора деформации
u
ik
= 0. Диогональные
элементы представляются в виде
u
xx
=
u
yy
= - (1/(2
µ
) – 1/(3
K
))
P
/3 = -
P
(3
K
- 2
µ
)/(18
µ
K
), (2.52)
u
zz
= (1/(3
K
) + 1/(
µ
))
P
/3 =
P
(3
K
+
µ
)/(9
µ
K
) =
P
/
E
, (2.53)
-
u
xx
/
u
zz
= -
u
yy
/
u
zz
=
σ
= (3
K
- 2
µ
)/(6
K
+ 2
µ
), (2.54)
P
/
u
zz
=
E
= (9
µ
K
)/(3
K
+
µ
), (2.55)
где
u
xx
и
u
yy
определяют относительное поперечное сжатие стержня;
u
zz
- от-
ностиельное удлинение стержня вдоль оси
z
;
σ
- отношение поперечного
сжатия к продольному удлинению называется
коэффициентом Пуассона
;
E
-
отношение давления на относительное удлинение вдоль оси
z
называется
мо-
дулем Юнга
.
Поскольку
K
и
µ
- положительные величины, то, как следует из (2.54), при
K
= 0,
σ
= - 1 и при
µ
= 0,
σ
= 1/2. Это предельные значения
σ
:
-1 ≤
σ
≤ 1/2.
Однако в природе не существует материалов с отрицательным значением
σ
, которые расширялись бы при продольном растяжении. Отметим, что поло-
жительным значениям
σ
, согласно (2.54), соответствуют значения коэффици-
ента всестороннего растяжения
K
> 2
µ
/3. Из (2.42′) следует, что в этом случае
λ
> 0, то есть коэффициенты Ламэ положительны:
λ
> 0,
µ
> 0 (2.43).
Согласно (2.52) и (2.53), относительное увеличение объёма стержня при
его растяжении будет
u
ii
=
u
xx
+
u
yy
+
u
zz
= -
P
(3
K
- 2
µ
)/(9
µ
K
) +
P
(3
K
+
µ
)/(9
µ
K
) = P/(3
K
). (2.56)
С учетом единственного ненулевого элемента тензора напряжений
σ
zz
=
P
для свободной энергии растянутого стержня из (2.50) и (2.53) получаем
F
=
u
zz
σ
zz
/2 =
P
2
/(2
E
). (2.57)
Общепринято, вместо коэффициентов
µ
,
K
,
λ
пользоваться модулем
Юнга
E
и коэффициентом Пуассона
σ
. Приведём формулы, связывающие эти
величины:
µ
=
E
/(2(1 +
σ));
Κ
=
E
/(3(1 - 2
σ))
;
λ
=
E
σ
/((1 - 2
σ)
(1 +
σ))
. (2.58)
Выражение свободной энергии (
F
–
F
0
) ≡
F
, согласно (2.37), будет
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
σ / 1 2σ / 2 1 σ
ik
ll
F=E u u
+
−
+
.
Выражение тензора напряжений через тензор деформации (2.46) будет
σ
ik
=
E
(
u
ik
+
u
ll
δ
ik
σ/
(1 - 2
σ
))/(1 +
σ)
. (2.59)
Выражение тензора деформации через тензор напряжений (2.48) будет
u
ik
= (1/
E
)((1 +
σ)σ
ik
-
σσ
ll
δ
ik
).
(2.60)
Приведём все шесть элементов симметричного тензора напряжений:
σ
xx
=
E
((1 -
σ
)
u
xx
+
σ
(
u
yy
+
u
zz
))/((1 +
σ)
(1 - 2
σ
)),
σ
yy
= E((1 -
σ
)
u
yy
+
σ
(u
xx
+
u
zz
))/((1 +
σ)
(1 - 2
σ
)), (2.61)
σ
zz
=
E
((1 -
σ
)
u
zz
+
σ
(
u
xx
+
u
yy
))/((1 +
σ)
(1 - 2
σ
)),
σ
xy
= E
u
xy
/(1 +
σ
),
σ
xz
=
Eu
xz
/(1 +
σ
),
σ
yz
=
Eu
yz
/(1 +
σ
).
И соответственно все шесть элементов тензора деформации:
u
xx
= (
σ
xx
-
σ
(
σ
yy
+
σ
zz
))/
E
,
u
yy
= (
σ
yy
-
σ
(
σ
xx
+
σ
zz
))/
E
, (2.62)
