63
1
Δ 1 1 Δ
1
ii
T
T
u
V
V
V
K p V p V p
V p
∂
=− =− =−
−
∂
, (2.49)
где величина 1/
K
называется коэффициентом всестороннего сжатия или, про-
сто коэффициентом сжатия. Из (2.48) видно, что деформации
u
ik
прямо про-
порциональны тензору напряжения
σ
ik
то есть силам приложенным к телу. Это
и есть закон Роберта Гука (1635 – 1703 гг.), который справедлив для малых уп-
ругих деформаций.
Подчеркнём, что закон Гука справедлив практически для всех упругих
деформаций, так как для реальных тел деформации являются упругими, когда
они малы. Исключение представляют синтетические материалы типа резины.
Свободная энергия
F
деформированного тела является квадратичной
формой по тензору деформации (2.42). Согласно теореме Эйлера об однородных
функциях нескольких переменных степени
m
[38], квадратичную форму
F
(од-
нородная функция второй степени) можно представить в виде
F
=
u
ik
(∂
F
/∂
u
ik
)/2 =
u
ik
σ
ik
/2. (2.50)
Мы учли первое равенство в (2.36)
σ
ik
= (∂
F
/∂
u
ik
), которое справедливо при
T
= const в деформированном теле.
Если в это выражение подставить значение
u
ik
в соответствии с (2.48), то
F
представится теперь уже как квадратичная форма от
σ
ik
. Применяя теорему
Эйлера ещё раз, получим
F
=
σ
ik
(∂
F
/∂
σ
ik
)/2. (2.51)
Сравнивая (2.50) и (2.51), получаем равенство
u
ik
= (∂
F
/∂
σ
ik
).
Это соотношение, в отличие от (2.36), справедливо только при малых де-
формациях, когда применим закон Гука (2.48).
2.8. Однордные деформации
Однородными являются деформации, при которых тензор деформации
постоянен вдоль всего объёма тела. Равномерное всестороннее сжатие является
однородной деформацией. Простое растяжение (сжатие) стержня, расположен-
ного вдоль оси
z
, - это его упругая деформация под влиянием двух равных и
противоположно направленных вдоль оси
z
сил, равномерно распределённых
по площади поперечного сечения стержня. Пусть
P
- сила, действующая на
единицу площади (давление). Поскольку все элементы тензора деформации
u
ik
постоянны во всём объёме тела, то, согласно (2.46), таковыми являются и эле-
менты
σ
ik
тезора напряжений.
Следовательно, их можно определить из граничных условий равновесия
на поверхности тела (2.18):
σ
ik
n
k
=
P
i
. На боковую поверхность стержня внеш-
ние силы не влияют. Значит,
σ
ik
n
k
= 0. Вектор нормали
n
в любой точке боко-
вой поверхности стержня перпедикулярен оси
z
(
n
z
= 0). Значит, для выполнния
условия равновесия на боковой поверхности стержня все элементы тензора на-
пряжений
σ
ik
, кроме
σ
zz
, должны равняться нулю. Из условия равновесия на
торцевых границах стержня
σ
ik
n
k
=
P
получаем
σ
zz
=
P
. Из (2.48) получаем,
