62
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
0
0
λ / 2 μ
μ 1/ 3 δ
μ / 3 λ / 2
ii
ik
ik
ik ll
ll
F=F
u u F u
u
u
+
+ = + −
+ +
. (2.41)
Свободная энергия только деформации будет
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
0
μ 1/ 3 δ
μ / 3 λ / 2 μ 1/ 3 δ
/ 2
ik
ik ll
ll
ik
ik ll
ll
F F u
u
u u
u K u
− = −
+ +
= −
+
, (2.42)
где
µ
- модуль чистого сдвига, а
K
- модуль всестороннего сжатия
K
=
λ
+ (2/3)
µ
. (2.42′)
В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия мини-
мальна. При
u
ik
= 0 свободная энергия достигает своего минимального значе-
ния
F
=
F
0
. Следовательно, правая часть равенства (2.42) должна быть положи-
тельной. Это возможно при условии
K
> 0 и
µ
> 0. (2.43)
Определим
σ
ik
= (∂
F
/∂
u
ik
)
T
из (2.36), дифференцируя величину
F
из (2.42):
dF
= 2
µ
(
u
ik
- (1/3)
δ
ik
u
ll
) d(
u
ik
- (1/3)
δ
ik
u
ll
) +
K u
ll
du
ll
. (2.44)
Первая скобка после умножения на
δ
ik
из второй скобки превратится в
нуль. Учитывая, что
du
ll
=
δ
ik
du
ik
, равенство (2.44) можно записать в виде
dF
= (2
µ
(
u
ik
- (1/3)
δ
ik
u
ll
) +
Ku
ll
δ
ik
)
du
ik
. (2.45)
Следовательно,
σ
ik
= (∂
F
/∂
u
ik
)
T
= 2
µ
(
u
ik
- (1/3)
δ
ik
u
ll
) +
Ku
ll
δ
ik
. (2.46)
Тензор напряжений есть сумма напряжений чистого сдвига и всесторон-
него сжатия.
K
и
µ
- это известные для данного материала константы.
2.7. Закон Гука и тензоры деформаций и напряжений
Найдём сумму диагональных элементов
σ
ik
, учитывая, что сумма диаго-
нальных элементов первой слагаемой в (2.45) равняется нулю. Следовательно,
σ
ii
=
Ku
ll
δ
ii
= 3
Ku
ll
или
u
ll
=
σ
ll
/(3
K
). (2.47)
Подставляя это выражение
u
ll
в (2.46), получаем
σ
ik
= 2
µ
(
u
ik
- (1/3)
δ
ik
σ
ll
/(3
K
)) +
K
δ
ik
σ
ll
/(3
K
).
Решая это уравнение относительно
u
ik
, находим
u
ik
= (
σ
ik
-
δ
ik
σ
ll
/3)/(2
µ
) +
δ
ik
σ
ll
/(9
K
) (2.48)
Следовательно, зная тензор напряжений, можно найти тензор деформа-
ций.
Равенство (2.47) показывает, что относительное изменение объёма изо-
тропного тела при деформации
u
ii
зависит только от суммы диагональных ком-
понент тензора напряжений
σ
ii
, причём эта связь определяется только модулем
всестороннего сжатия
K
.
При всестороннем и равномерном сжатии тела, согласно (2.14),
σ
ik
= -
p
δ
ik
или
σ
ii
= - 3
p
.
Равенство (2.47) примет вид
u
ii
= -
p
/
K
. Поскольку деформации малы, то
u
ii
и
p
являются малыми величинами.
Следовательно,
