61
Из выражений полных дифференциалов (2.26), (2.30), (2.34) заключаем,
что
U
=
U
(
S
,
u
ik
);
F
=
F
(
T
,
u
ik
);
G
=
G
(
T
,
σ
ik
). (2.35)
Следовательно,
σ
ik
= (∂
U
/∂
u
ik
)
S
= (∂
F
/∂
u
ik
)
T
,
u
ik
= - (∂
G
/∂
σ
ik
)
T
. (2.36)
Рассмотрим малые деформации изотропного тела, температура которого
постоянна во всём его объёме и совпадает с температурой недеформированного
состояния. Тогда из
u
ik
= 0 вытекает
σ
ik
=0.
Следовательно, из (2.36) следует (∂
F
/∂
u
ik
)
T
= 0.
Иными словами, в разложении функции
F
(
T
,
u
ik
) в ряд Тейлора по сте-
пеням
u
ik
должна отсутствовать слагаемая с первой степенью
u
ik
. Поскольку
F
- скалярная величина, то и слагаемые этого ряда тоже должны быть скаляра-
ми. Если рассмотреть только малые деформации, то можно ограничиться только
членами нулевого и второго порядков относительно
u
ik
. Из компонент симмет-
ричного тензора деформации
u
ik
можно построить два независимых скаляра
второго порядка.
Следовательно,
(
)
2
2
0
λ / 2 μ
ii
ik
F=F
u u
+
+
, (2.37)
где
λ
и
µ
называются
коэффициентами Ламэ
.
Изменение объёма при деформации определяется суммой диагональных
элементов
u
ii
.
2.6. Деформации чистого сдвига и всестороннего сжатия
Если
u
ii
= 0, это значит, деформации носят такой характер, что в резуль-
тате объём тела не меняется, а меняется только форма тела. Такие деформации
называются
сдвигом.
Если же вследствие деформации форма тела остаётся не-
изменной, то такая деформация, при которой происходит масштабное измене-
ние объёма тела, называется
всесторонним сжатием
. В этом случае тензор де-
формаций имеет диагональный вид с равными элементами:
u
ik
= const
δ
ik
. (2.38)
Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чис-
того сдвига и всестороннего сжатия.
Действительно, всякий тензор второго ранга, в том числе и симметричный
тензор деформации
u
ik
, можно представить в виде суммы двух тензоров:
u
ik
= (
u
ik
– (1/3)
δ
ik
u
ll
) + (1/3)
δ
ik
u
ll
. (2.39)
Согласно принятым правилам,
u
ll
=
u
11
+
u
22
+
u
33
. Чтобы форма тела не
изменилась относительно недеформированного состояния (2.38), необходимо
выполнение следующего условия:
u
11
=
u
22
=
u
33
. (2.40)
Следовательно, второй тензор в (2.39) - это тензор всестороннего сжатия,
а первый - тензор чистого сдвига, сумма диагональных элементов которого
равняется нулю, даже если условие (2.40) не выполняется. С учётом (2.39)
преобразуем общее выражение свободной энергии (2.37) к виду
