60
∫
δ
Α
dV
= - ∫
σ
ik
(∂(
δ
u
i
)/∂
x
k
)
dV
= - (1/2)∫(
σ
ik
(∂(
δ
u
i
)/∂
x
k
) +
σ
ki
(∂(
δ
u
k
)/∂
x
i
))
dV
или
∫
δ
Α
dV
= - (1/2)∫
σ
ik
(∂(
δ
u
i
)/∂
x
k
+ ∂(
δ
u
k
)/∂
x
i
)
dV
=
= - (1/2)∫
σ
ik
δ
(∂
u
i
/∂
x
k
+ ∂
u
k
/∂
x
i
)
dV
. (2.23)
Здесь была использована независимость операций дифференцирования и
вариации. Если воспользоваться соотношением (2.1), где пренебречь третьей
слагаемой как величиной второго порядка малости, то окончательно получим
∫
δ
Α
dV
= - ∫
σ
ik
δ
u
ik
dV
, (2.24)
или в дифференциальной форме
δ
Α
= -
σ
ik
δ
u
ik
.
. (2.25)
Это есть работа по изменению тензора деформации. Если деформации ма-
лы, то после устранения сил, вызвавших деформацию, тело возвращается в не-
деформированное состояние - это упругие деформации. В противном случае в
теле возникают остаточные неупругие деформации - это пластические дефор-
мации.
Предположим, процесс деформации тела происходит через цепочку со-
стояний термодинамического равновесия. Тогда этот процесс будет термодина-
мически обратимым процессом. Введём термодинамические величины – энтро-
пию
S
, внутреннюю энергию
U
, свободную энергию
F
, термодинамический
потенциал Гиббса
G
, относящиеся к единице объёма недеформированного тела.
Согласно первому началу термодинамики,
dU
=
δ
Q
-
δ
Α
=
T dS
+
σ
ik
du
ik
. (2.26)
Для процесса равномерного сжатия со значением давления p, учитывая
(2.14), получим
σ
ik
du
ik
= -
p
δ
ik
du
ik
= -
pdu
ii
= -
pdV
. (2.27)
Поскольку, согласно соотношению (2.7),
u
ii
- это относительное измене-
ние объёма тела при деформировании, то для единицы объёма недеформиро-
ванного тела
du
ii
будет просто изменением этого объёма
dV
. Таким образом,
термодинамическое соотношение (2.26) примет обычный вид:
dU
=
T dS
-
pdV
. (2.28)
Вводя свободную энергию
F
=
U
–
T S
, (2.29)
получим
dF
=
dU
–
TdS
–
SdT
= –
SdT
+
σ
ik
du
ik
. (2.30)
Термодинамический потенциал Гиббса вводится следующим выражени-
ем:
G
=
U
–
TS
+
pV
. (2.31)
В теории упругости используется выражение
G
=
U
–
T S
-
σ
ik
u
ik
=
F
-
σ
ik
u
ik
. (2.32)
Для всестороннего сжатия с учётом (2.14) получаем
G
=
F
+
p
δ
ik
u
ik
=
F
+
pu
ii
=
F
+
p
(
V
–
V
0
). (2.33)
Заметим, что (2.33) и (2.31) отличаются.
Продифференцировав (2.32) и учитывая (2.30), получим
dG
=
dF
-
σ
ik
du
ik
-
u
ik
d
σ
ik
= -
SdT
-
u
ik
d
σ
ik
(2.34)
