239
.
Составим сводную таблицу (табл. 8.3) решений дифференциального
уравнения аналитическим методом и методом Рунге-Кутта, при этом
вычислив относительную и абсолютную погрешности.
Таблица 8.3
Расчеты для метода Рунге-Кутта
x
у
метода Рунге-Кутта
y точное
Δ
y
%
100
0
1/9
1/9
0
0%
0,5
-1,476
-1,476
0
0%
1
-2,844
-2,845
0,001
0,1%
Средняя
ошибка
в
вычислении
методом
Рунге-Кутта:
S
=(0,1%+0%+0%)/3=0,03%, 0,03%<20%
, значит, результаты, полученные
вычислениями по методу Рунге-Кутта, можно считать достаточно
верными.
8.6. Примеры применения решения системы
дифференциальных уравнений в экономике
Понятие о разностных уравнениях. Модель делового цикла
Самуэльсона-Хикса
Уравнение вида
0
,...,
, ,
1
k
n
n n
x
x
xn
F
,
(8.3)
Разностное уравнение вида
K
x
B
x
B x
B
kn k
n
n
...
1 1
0
,
(8.4)
где
K B BB
kn
n n
,
,...,
,
1
некоторые функции от
n
, называется
линейным
разностным уравнением k-го порядка
.
В случае, когда коэффициенты
kn
n n
B BB
,...,
,
1
являются константами,
методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны
решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами [22]. Продемонстрируем это для разностных уравнений
второго порядка
K qx
px
x
n
n
n
1
2
(8.5)
Так же, как и для линейных дифференциальных уравнений, общее
решение уравнения (8.5) определяется по формуле
nX nx x
n
,
(8.6)
где
x
(
n
) – некоторое частное решение уравнения (8.5);
X
(
n
) – общее
решение соответствующего однородного уравнения (случай
K
=0). Для
нахождения общего решения однородного уравнения необходимо вначале
решить характеристическое уравнение
