240
0 λ λ
2
q p
.
(8.7)
После этого могут возникнуть три варианта.
1.
Оба корня
1
λ
и
2
λ
действительно различны, тогда общее решение
находится по формуле
n
n
C
λ
C
n
X
2 2
11
λ
,
(8.8)
где
С
1
и
С
2
– произвольные константы.
2.
Оба корня действительны и равны (
1
λ
=
2
λ
=
λ
), тогда
n
nC
C n
X
λ
2
1
.
(8.9)
3.
В случае комплексно сопряженных корней
sin
cos
λ
2,1
i
r
n C
n Cr
n
X
n
sin
cos
2
1
.
Пример 8.6
Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение
линейных разностных уравнений, модель делового цикла Самуэльсона-
Хикса (динамический вариант модели Кейнса). В этой модели
используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы
инвестирования прямо пропорциональны приросту национального
дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением
2
1
t
Y
tYV
t
I
,
(8.10)
где коэффициент
V
> 0
– фактор акселерации;
I
(
t
)
– величина инвестиций в
период
t
;
Y
(
t
-1),
Y
(
t
-2)
– величины национального дохода в
(
t
-1)
-м и
(
t
-2)
-м
периодах соответственно. Предполагается также, что потребление на
данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем
этапе, т.е.
b t
Y t
C
1
.
(8.11)
Условие равенства спроса и предложения имеет вид
y
C
t
I
tY
.
(8.12)
Подставляя в (8.12) выражение для
I
(
t
)
из (8.10) и выражение для
C
(
t
) из (8.9), находим
b
tVY
tYVa tY
2
1
.
(8.13)
Уравнение (8.12) известно как уравнение Хикса. Оно представляет
собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении
рассматриваемых периодов величины
а
и
V
постоянны).
Замечание
. Мы можем легко найти частное решение уравнения
(8.13), если положим, что
* 2
1
Y
tY t
Y
t
Y
,
(8.14)
т.е., использовав в качестве частного решения равновесное решение
const
*
Y
. Из (8.13) в силу (8.14) имеем
