242
Уравнение (8.16) представляет собой линейное разностное
уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. В качестве
частного решения можно использовать равновесное решение
const
p
p
t
.
(8.17)
Подставив выражение для
p
t
из (8.16) и (8.17), легко получить
n
b
ma
p
.
Решая характеристическое уравнение
0 λ
n
b
, находим
b
n
/
λ
.
Следовательно,
nb
ma
b
n
C p
t
t
1
.
(8.18)
Таким образом, из (8.18) вытекает, что динамика цен носит
колебательный характер. При этом, если
n
<
b
, то последовательность цен
{
p
t
} будет сходиться к равновесному состоянию, если
n
>
b
, то с течением
времени последовательность {
p
t
} будет удаляться от равновесного
состояния, если же
n
=
b
, то будет иметь место циклические колебания
цены относительно равновесного состояния.
Пример 8.9
Пусть функции спроса
D
и предложения
S
имеют следующие
зависимости от цены P и ее производных:
.3 3
4 )(
,18 2
3 )(
P P P tS
P P P tD
Данные зависимости вполне реалистичны:
Спрос
меняется от изменения темпа цены: если темп роста растет
(
0
P
), рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост
цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной
функции цены входит со знаком «минус».
Предложение
в еще большей мере усиливается темпом изменения
цены, поэтому коэффициент при
P
в функции
)(
tS
больше, чем в
D
(
t
).
Рост цены также увеличивает предложение – потому слагаемое,
содержащее
P
, входит в выражение для
)(
tS
со знаком «плюс».
Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку
равновесное состояние рынка характеризуется равенством
S
D
,
приравниваем правые части и приводим подобные получаем:
15 5 2
P P P
.
