212
Отсюда, при естественном предположении
0
x
, получим
k
x
dx
y
dy
.
Интегрируя
обе
части
полученного
равенства,
находим
C x
k y
ln ln
ln
, откуда следует, что
k
Cx y
.
Автономные уравнения
– это уравнения вида
y
g y
(7.26)
Такие уравнения часто встречаются в различных вопросах
экономической динамики. Обычно в качестве независимой переменной
рассматривается время. Его отсутствие в правой части уравнения (7.26)
можно трактовать как неизменность законов, по которым развивается
экономическая система в рассматриваемый промежуток времени. Если
y
*
корень уравнения
g
(
y
)=0
, то
y
=
y
*=const
является решением (7.26). Такое
решение называется
стационарным
. Кроме того, отметим еще одно
интересное свойство, которым обладают решения автономного
уравнения.
Теорема
. Если
y
=
(
х
)
– решение автономного дифференциального
уравнения, то
y
(
х+С
)
также является решением этого уравнения.
Замечание 1
. Геометрическая трактовка данной теоремы заключается
в том, что при параллельном переносе вдоль оси
Ох
интегральные кривые
автономного уравнения переходят друг в друга.
Замечание 2
. Если
g
(
y
)
0
, то общее решение автономного уравнения
задается формулой
y
(
х+С
)
, где
(
х
)
– произвольное частное решение.
Пример 7.6
Модель естественного роста (рост при постоянном
темпе)
Пусть
y
(
t
)
– интенсивность выпуска продукции некоторого
предприятия (отрасли). Мы будем предполагать, что имеет место аксиома
о ненасыщаемости потребителя, т.е. что весь выпушенный предприятием
товар будет продан, а также то, что объем продаж не является столь
высоким, чтобы существенно повлиять на цену товара
р
, которую ввиду
этого мы будем считать фиксировано. Чтобы увеличить интенсивность
выпуска
y
(
t
)
, необходимо, чтобы чистые инвестиции
I
(
t
)
(т.е. разность
между общим объемом инвестиций и амортизационными затратами)
были больше нуля. В случае
I
(
t
) = 0
общие инвестиции только лишь
покрывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции
остается неизменным. Случай
I
<0
приводит к уменьшению основных
фондов и, как следствие, к уменьшению уровня выпуска продукции.
Таким образом, мы видим, что скорость увеличения интенсивности
выпуска продукции является возрастающей функцией от
I
.
