202
2. Определяется наклон интегральной кривой в точке
)
,
(
1
1
n
n
y
x
.
3. Находится среднее значение производной функции на шаге
n
h
1
2
1
) ,
(
2
1
n
n n
n
y
yx
y
.
4. Рассчитывается значение функции в (
n
+1)-м узле
2
1
1
n
n
n
yh y
y
.
Данная схема имеет специальное название «предиктор-корректор».
Рассмотрим случай α=1. Согласно (7.8) получаем
) , (
2
,
2
1
n n
n
n
n
n
n n
n
yx
h
y
h
x h y y
.
Задача решается посредством следующих шагов:
1. Вычисляется значение функции в половинном узле
) , (
2
2
1
n n
n
n
n
yx
h
y
y
.
2.Определяется значение производной в узле
n
+(1/2)
2
1
2
1
,
2
n
n
n
n
y
h
x
y
.
3.Находится значение функции в
(
n
+1)
- м узле
2
1
1
n
n
n
n
yh x
y
.
Помимо рассмотренных выше двучленных схем, широкое
распространение в практике расчетов имеют схемы Рунге-Кутта
четвертого порядка точности. Приведем соответствующие формулы:
6
/
2 2
4
3
2
1
1
k
k
k k
y y
n
n
,
n n
n
y
x
h k
,
1
,
2
/
,2/
1
1
k y
h x
h k
n
n
n n
,
(7.10)
2
/
,2
/
1
2
k y
h
x
h
k
n
n n
n
,
2/
,2/
2
3
k y
h x
h
k
n
n
n n
,
3
4
,
k y
h x
h k
n
n n
n
.
Схемы с большим числом членов практически не применяются.
Пятичленные формулы обеспечивают четвертый порядок точности,
шестичленные имеют шестой порядок, но их вид весьма сложен.
Погрешности приведенных схем Рунге-Кутта определяются
максимальными значениями соответствующих производных.
Оценку погрешностей легко получить для частного случая правой
части дифференциального уравнения
x
v
x
,
. В этом случае решение
уравнения может быть сведено к квадратуре, и все схемы разностного
решения переходят в формулы численного интегрирования. Например,
схема (7.9) принимает вид
