204
7.3. Неявные методы
Введем понятие устойчивости разностного метода. Для этого
рассмотрим уже упоминавшееся разностное уравнение многошагового
метода
m
k
kn kn k
m
k
kn
k
y
x b
y
h
a
0
0
,
,
,1
,
m
mn
.
(7.12)
Однородное разностное уравнение, соответствующее (7.12), имеет вид
0
0
m
k
kn
k
ya
.
(7.13)
Говорят, что уравнение (7.13) устойчиво по начальным данным, если
существует постоянная
M
, не зависящая от
n
, такая, что при любых
начальных данных
1
1 0
,
, ,
m
y
y
y
имеет место неравенство
j
mj
n
y
M y
1
0
max
,
,1
,
mmn
Вопрос устойчивости по начальным данным решается путем
рассмотрения корней так называемого характеристического уравнения,
получаемого из (7.13), если решение этого уравнения искать в виде
kn
kn
q
y
. Подставляя данное
kn
y
в (7.13) и сокращая на
mn
q
получим
характеристическое уравнение для нахождения
q
:
0
1
1
1
0
m
m
m
m
aq
a
qa q
a
.
(7.14)
Справедлива следующая
теорема
. Для устойчивости уравнения (7.13)
по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие корней, а именно: все корни
m
q qq
, , ,
2 1
характеристического
уравнения должны располагаться внутри или на границе единичного
круга комплексной плоскости, причем на границе не должно быть
кратных корней.
Доказывается следующее утверждение. Пусть
T
nh
0
, условие
корней выполнено,
0
i
i
x
y
при
0
h
,
1 ,0
m
i
, и разностное
уравнение (7.12) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение
(7.1). Тогда решение разностной задачи (7.12) сходится при
0
h
к
решению исходной задачи (7.1). Говоря другими словами, из
аппроксимации и устойчивости по начальным данным следует
сходимость на ограниченном отрезке
T
,0
.
Сформулированное условие устойчивости, базирующееся на анализе
расположения корней характеристического уравнения (7.14), является
весьма общим. Конкретизируем вопрос об устойчивости разностного
уравнения применительно к асимптотически устойчивым решениям
уравнения (7.1).
Пусть
x
x
x
,
,
0
, т.е.
