208
Соответствующее характеристическое уравнение запишется следующим
образом:
0
2
1
2
2
3
2
q q
.
(7.25)
Наша задача определить область комплексной плоскости
µ=µ0+
i
µ1
, в
точках которой оба корня (7.25) по модулю меньше единицы.
Оказывается, что эта область целиком располагается в правой плоскости
и метод (7.23) является
A
− устойчивым.
Метод (7.24) относится к так называемым
A
(α) – устойчивым
методам.
7.4. Примеры
Пример 7.1
Дано уравнение
y’
=
xy
. Начальные условия
x
0
=1
,
y
0
=1
. Найти первые
три точки
y
1
,
y
2
,
y
3
, смещаясь с шагом
h
= 0,2
методом Эйлера.
Итерационная формула:
y
i
+1
=
y
i
+
f
(
x
i
,
y
i
)(
x
i
+1
-
x
i
).
Решение. В данном случае
y
i
+1
=
y
i
+
x
i
y
i
h
.
y
1
=1+1∙1∙0,2=1,2;
y
2
=1,2+1,2∙1,2∙0,2=1,488;
y
3
=1,488+1,4∙1,488∙0,2=1,905
.
Нашли приближенное решение, а теперь найдем точное –
аналитически.
x
3
=1,6
y
3
*
=2,181; δ=
y
*
-
y
3
=0,276.
Пример 7.2
Дано уравнение
y’=xy
,
x
0
=1,
h
=0,2
. Решить первой,второй и третьей
модификацией метода Эйлера.
Решение.
Первая модификация метода Эйлера
1-й шаг
:
1,11,0111
2
1
y
, (этап 1)
242
,12,01,11,1
1
1
y
, (этап 2)
