207
A
dx
d
(7.22)
с независящей от
x
матрицей
A
(
m
×
m
) называется жесткой, если Reλ
k
<0,
k
= и отношение
k
mk
k
mk
s
Re
min
Re max
1
1
велико, где
k
- собственные числа
матрицы
A
. Величина
s
называется числом жесткости. Если матрица
A
зависит от
x
, то и
k
-зависят от
x
, тогда вводится переменное число
жесткости
k
mk
k
mk
s
Re min
Re max
1
1
и оперируют с величиной
x
s
sup
на отрезке интегрирования.
Отличительной особенностью жестких систем является наличие в их
решении как быстро, так и медленно убывающих компонент. При
x
> 0
решение системы практически определяется медленно убывающей
компонентой, однако, если воспользоваться явными разностными
методами, то быстро убывающая составляющая будет отрицательно
влиять на устойчивость, и в результате весь расчет необходимо вести с
малым шагом интегрирования. При использовании же неявных методов
ограничения на шаг сняты, и его величину определяют из условия
достижения нужной точности, не заботясь особо об устойчивости.
При решении жестких систем дифференциальных уравнений хорошо
зарекомендовал себя метод Гира, который относится к чисто неявным
многошаговым разностным методам, общая формула которых выглядит
следующим образом:
n n
m
k
k
mk
y
xh ya
,
0
,
т.е. рассматривается частный случай метода (7.12), когда
b
1
=
b
2
=…
=b
m
=0
, а
b
0
=1
.
При
m
= 1
и
a
0
= 1
,
a
1
= −1
имеем
n n
n
n
yxh
y
y
,
1
, т.е. неявный метод
Эйлера. При
m
= 2
и
m
= 3
методы выглядят следующим образом:
n n
n
n
n
yxh
y
y y
,
2
1
2
2
3
2
1
,
(7.23)
n n
n
n
n
n
yxh
y
y
y y
,
3
1
2
3
3
6
11
3
2
1
.
(7.24)
Разностное уравнение (7.23) имеет второй порядок точности, а (7.24)
- третий. Чтобы найти область устойчивости метода, следует записать
аналогичные уравнения для дифференциального уравнения (7.15).
Например, (7.23) примет вид
n
n
n
n
y
y
y y
2
1
2
1
2
2
3
.
