205
x
dx
d
.
(7.15)
Решение этого уравнения асимптотически устойчиво, т.е. при любых
0
x
справедлива оценка
x
hx
.
(7.16)
Потребуем, чтобы и разностное уравнение давало решение,
обладающее свойством (7.16). Используя явный метод Эйлера первого
порядка аппроксимации, получим разностный аналог (7.15)
n
n
n
y
h
y y
1
,
,2
,1,0
n
.
(7.17)
или
n
n
yh
y
1
1
, т.е.
h q
1
.
Оценка (7.16) будет выполнена для (7.17) только в том случае, если
1
q
, так как тогда
n
n
y
y
1
. Из
1
q
следует ограничение на шаг
h
:
2
0
h
.
Разностный метод (7.12) называется абсолютно устойчивым, если
устойчивость имеет место при любых
0
h
, и условно устойчивым, если
она может быть обеспечена только введением ограничений на шаг
h
.
В качестве примера абсолютно устойчивого метода традиционно
рассматривается неявный метод Эйлера, имеющий первый порядок
аппроксимации
1
1
n
n
n
y
h
y
y
.
(7.18)
Из (7.18) следует
0
h
. т.е.
1
1
1
h
q
всегда, при любых
0
h
.
Условная устойчивость приводит к необходимости выбирать малые
значения шага
h
, что является недостатком явного метода. Неявный
метод, лишенный данного ограничения, имеет другой довольно
существенный недостаток, обусловленный необходимостью решения на
каждом шаге алгебраического уравнения (или системы уравнений, в
общем случае нелинейных).
Запишем разностное уравнение (7.12) для задачи (7.15):
0
0
m
k
kn
k
k
yb a
,
,1
,
m
mn
,
(7.19)
где
h
- в общем случае комплексный параметр.
Характеристическое уравнение для (7.19) имеет вид
0
0
m
k
km
k
k
q
b a
.
(7.20)
При малых µ корни (7.20) близки к корням (7.13).
