203
)
(
)
(
2
1
1
n
n
n
n
n
x
x
h
y
y
,
то есть имеет вид формулы трапеций, а схема (7.10) переходит в схему
)
(
)2
/
(4 ) (
2
1
n n
n n
n
n
n
n
h x
h x
x
h
y
y
,
представляющую собой формулу Симпсона с шагом
2
/
n
h
.
Оценки погрешности формул трапеций и Симпсона известны.
Точность схем Рунге-Кутта достаточно высока. Выбор той или иной из
приведенных схем для решения конкретной задачи определяется
следующими соображениями. Если функция
v
x
,
в правой части
уравнения непрерывна и ограничена, а также непрерывны и ограниченны
ее четвертые производные, то наилучший результат достигается при
использовании схемы (7.10). В том случае, когда функция
vx
,
не имеет
названных выше производных, предельный (четвертый) порядок схемы
(7.10) не может быть достигнут, и целесообразным оказывается
применение более простых схем.
Помимо схем Рунге-Кутта, практический интерес представляют
многошаговые методы, которые можно описать следующей системой
уравнений:
mnm
n
n
mnm
n
n
b
b b
h
ya
ya y
a
1 1
0
1
1
0
,
(7.11)
где
,1 ,
mm
n
;
k k
ba
,
- числовые коэффициенты;
m k
,0
,
0
0
a
.
Согласно данному уравнению расчет начинается с
m
n
. В этом
случае получается соотношение вида
,
т.е. для начала счета надо иметь
m
начальных значений
i
y
,
1 ,0
m i
. Эти
значения
i
y
приходится вычислять каким-либо другим методом,
например, методом Рунге-Кутта.
Среди многошаговых методов наиболее распространен метод
Адамса, схема реализации которого следует из (7.11) при
1
1
0
a
a
и
0
k
a
,
m
k
,2
:
m
k
kn
k
n
n
b
h
y y
0
1
.
При
0
0
b
метод Адамса оказывается явным, а при
0
0
b
- неявным.
0
1 1
0
0
1 1
0
m
m
m
m
m
m
b
b b
h
ya
ya
ya
