206
Областью устойчивости метода (7.12) называется множество точек
комплексной плоскости
h
, для которых данный метод, примененный
к уравнению специального вида (7.15), является устойчивым.
Для явного метода Эйлера условие устойчивости
1
1
при
комплексном
1
0
i
Im , Re
1
0
выглядит следующим образом:
1
1
2
1
2
0
, т.е. областью устойчивости является круг единичного
радиуса, центр которого находится в точке (-1;0) комплексной плоскости.
Для неявного метода Эйлера условие
1
1
1
соответствует
неравенству
1
1
2
1
2
0
, т.е. областью устойчивости является внешняя
область круга единичного радиуса с центром в точке (1;0).
Разностный метод называется
A − устойчивым
, если область его
устойчивости включает левую полуплоскость
0μRe
(или
0
μ
Re
h
).
Следует обратить внимание на то, что уравнение (7.15) асимптотически
устойчиво при
0
Re
. Следовательно
A
− устойчивый разностный метод
является абсолютно устойчивым (т.е. устойчивым при любых
h
>0), если
устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Из
приведенного рассмотрения видно, что неявный метод Эйлера обладает
свойством
A
− устойчивости, а явный метод - нет.
Рассмотрим еще один неявный метод более высокого порядка
аппроксимации (второго):
n n
n
n
n
n
yx
y x
h
y y
,
,
2
1
1
1
1
.
(7.21)
Этот метод получается заменой интеграла от правой части (7.1) на длине
шага по формуле трапеций. Применительно к уравнению (7.15) метод
(7.21) выглядит следующим образом:
n
n
y
y
μ5,0
1
μ5,0
1
1
,
т.е.
1
μ5,01
μ5,01
, если µ ≤ 0, т.е. метод (7.21) относится к
A
− устойчивым.
Существует доказательство следующих положений:
среди методов (7.12) не существует явных
A
− устойчивых методов;
среди неявных линейных многошаговых методов нет
A
− устойчивых
методов, имеющих порядок точности выше второго.
A
− устойчивые разностные схемы весьма эффективны при решении
так называемых жестких систем уравнений, так как эти методы не
накладывают ограничений на шаг
h
. Рассмотрим подробнее это
утверждение.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
