200
При решении дифференциальных уравнений приближенным методом
основным является вопрос о сходимости. Применительно к разностным
методам традиционно более употребительно понятие сходимости при
0
h
.
Обозначим значения сеточной функции
i
y
значения точного
решения дифференциального уравнения (7.1) в узле
) (
i
x
v
i
(
i
y
являются
приближенными значениями
) (
i
xv
). Сходимость при
h
→0 означает
следующее. Фиксируем точку
x
и строим совокупность сеток
таким
образом, что
h
→0 и
(при этом
). Тогда считают, что
численный метод сходится в точке
x
, если
0 )
(
i
i
x
v
y
при
0
h
x x
i
.
Метод сходится на отрезке
b
a
,
, если он сходится в каждой точке
b
a
x
,
.
Говорят, что метод имеет
p
-й порядок точности, если можно найти такое
число
0
p
, что
p
i
i
h
O x
v y
) (
при
0
h
.
Введем далее понятие невязки, или погрешности аппроксимации
разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное
уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка представляет
собой результат подстановки точного решения уравнения (7.1)
)(
x
v
в
разностное уравнение. Например, (7.1) можно заменить простейшим
разностным уравнением
.
Тогда невязка определится выражением
.
Приближенное решение не совпадает, вообще говоря, c
U
i
, поэтому
невязка в
i
-й точке не равна нулю. Вводят следующее определение:
численный метод аппроксимирует исходное дифференциальное
уравнение, если
при
0
h
, и имеет
p
-й порядок точности, если
.
Доказывается, что порядок точности численного метода решения
дифференциального уравнения совпадает с порядком аппроксимации при
достаточно общих предположениях.
Теперь перейдем к анализу схем Рунге-Кутта. Сначала обратимся к
схемам второго порядка точности.
Используя формулу Тейлора, решение дифференциального
уравнения (7.1) можно представить в виде
...
2
1
2
1
n n
nn
n
n
vh vh v v
,
(7.6)
где обозначено
n
n
n
n
n
n
n
x
x
h x
v
v x
v v
1
),
(
),
(
.
Отметим,
что
согласно
уравнению
(7.1)
,
.
Далее удерживаем только выписанные члены ряда. Представим
вторую производную следующим образом:
