201
,
где
v
x
~
,~
пока неизвестные величины. Пусть
.
Обозначим приближенное значение решения в узле с номером
n
через
n
y
(именно это решение будет получаться после того, как мы
ограничим ряд членами с порядком не выше второго).
Имеем
.)
,
(
) , (
) , ( )
,
(
2
1
) , (
2
1
n
n n
n
n n
n
n
n n
n
n n
n
n
n n
n
n
n
h yh x
yx h y
x
yx
h yh x
h yx h
y y
Введенные здесь параметры α, β, γ и δ подлежат определению.
Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и приводя подобные члены,
получим последовательно
.) , (
) , (
) , ( )
(
) , (
) , (
) , (
) , (
2
1
n n y
n n x
n
n n
n
n
n n n y
n n n x
n n
n n
n
n
n
yx
yx
h yx h
y
h yx
h yx
yx
yx
h y y
(7.7)
Условием выбора параметров α, β, γ и δ поставим близость
выражения (7.7) ряду (7.6), тогда
.
Один параметр остается свободным. Пусть это будет α, тогда
и окончательно из (7.7) с учетом найденных отношений для β, γ и δ
получим
.
(7.8)
Соотношение (7.8) описывает однопараметрическое семейство
двучленных формул Рунге-Кутта.
В специальной литературе доказывается, что если
непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то
приближенное решение схемы (7.8) равномерно сходится к точному
решению с погрешностью
2
max
n
h
O
, т.е. схема (7.8) обладает вторым
порядком точности. В практике расчетов используют формулы (7.8) при
значениях параметра
, α=1.
Рассмотрим случай
. Из (7.8) выводим
)
, ( ,
) , (
2
1
n n n n n
n n
n
n
yx yh x
yx
h
y y
.
(7.9)
Применение
формулы
(7.9)
сводится
к
следующей
последовательности шагов:
1. Вычисляется грубо значение функции
1
n
y
(по схеме ломаных)
.
