199
.
Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим
dt t zL x
z
x
x
s
s
0
)
(
)(
1
,
(7.4)
где
)( )
(
)
(
xv xy
x
z
s
s
− погрешность приближенного решения.
Последовательное применение формулы (7.4) при
,...
2
,1
s
дает
следующую цепочку соотношений при учете того, что
.)
(
!
1
)(
...
, )
(
2
1
)(
,
)(
,
)(
)(
0
2
0
2
2
0
1
0
0
s
s
s
x xVL
s
x z
x xVL x z
x xLV xz
V xv v x z
Так как
1
0
l
x x
, то имеем
.
Заменяя по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку
погрешности приближенного решения
s
s
s
Lel
s
V
x z
1
2
)
(
.
(7.5)
Из (7.4) следует, что при
s
модуль погрешности
)(
x
z
s
, т.е.
приближенное решение равномерно сходится к точному.
7.2. Методы Рунге-Кутта
Данные методы являются численными.
На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие
построение разностных схем (методов) различного порядка точности.
Наиболее употребительны схемы (методы) второго и четвертого
порядков. Их мы и рассмотрим далее.
Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на
отрезке
ba
,
называется фиксированное множество точек этого отрезка
. Функция, определенная в данных точках, называется сеточной
функцией. Координаты точек
i
x
удовлетворяют условиям
b x x
x
x x x a
N
N
N
1
2
2
1
0
...
.
Точки
являются узлами сетки. Равномерной сеткой на
b
a
,
называется множество точек
, где
шаг сетки.
