198
а именно, малые изменения начальных условий должны приводить к
малому изменению решения. В противном случае (слабой устойчивости)
малые погрешности в начальных данных или погрешности численного
метода могут приводить к большим погрешностям в решении.
Далее будут рассматриваться алгоритмы решения задачи Коши на
примере одного уравнения первого порядка
. Обобщение на
случай системы
n
уравнений осуществляется заменой
на
и
на
, где
,
...
)
(
2 1
n
v v
v
xv
.
7.1. Метод Пикара
Данный метод является представителем класса приближенных
методов решения.
Идея метода чрезвычайно проста и сводится к процедуре
последовательных приближений для решения интегрального уравнения, к
которому приводится исходное дифференциальное уравнение.
Пусть поставлена задача Коши
,
0
0
)
(
v
x
v
.
(7.1)
Проинтегрируем выписанное уравнение
.
(7.2)
Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется
согласно следующей схеме:
,
(7.3)
причем
.
Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой
ограниченной области
правая часть
непрерывна и, кроме
того, удовлетворяет условию Липшица по переменной
v
, т.е.
, где
L
- некоторая константа.
В силу ограниченности области
имеют место неравенства
V v v l
x x
0
1
0
,
.
Вычтем из (7.3) формулу (7.2), получим выражения для модулей правой и
левой частей:
,
или
