197
заменой переменных
v
(k)
=v
k
сводятся к системе
n
уравнений первого
порядка
,2
0,
1
n
k
v
v
k
k
где обозначено
v
0
≡v
.
В соответствии с изложенным, далее будут рассматриваться системы
уравнений первого порядка:
Решение системы
n
-го порядка зависит от
n
параметров
.
,...,
,
2 1
n
c
c
c
Единственное
решение
получается
при
использовании
дополнительных условий для искомой функции. В зависимости от того,
каким образом ставятся данные условия, различают три типа задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений: задача Коши, краевая
задача и задача на собственные значения. В задаче Коши все
дополнительные условия ставятся в одной точке:
v
k
(x
0
)=v
k,
0
,
1
≤k≤n
.
Решение отыскивается в некотором интервале
x
0
≤x≤x
l
.
Если правые части φ
k
уравнений непрерывны в некоторой
окрестности начальной точки
0,
0,2 0,1 0
,...,
,
,
n
v v
v
x
, и удовлетворяют условию
Липшица по переменным
v
k
, то решение задачи Коши существует,
единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т.е.
задача является корректной. φ
Условие Липшица формулируется следующим образом:
для любых точек
mn
m
m
l
n
l
l
v
v vx v
v v
x
,
,2 ,1
,
,2
,1
,...,
,
,
,
,...,
,
,
.
Методы решения
Можно выделить три типа методов решения обыкновенных
дифференциальных уравнений: точные, приближенные и численные.
Точные методы предусматривают получение решения в виде комбинации
элементарных функций или в виде квадратур от последних. Возможности
точных методов ограничены. Приближенные методы сводятся к
построению последовательности функций
w
n
(
x
), имеющих пределом
искомую функцию
v
n
(
x
). Обрывая эту последовательность на каком-то
k
,
получают приближенное решение. Наиболее универсальными методами
решения являются численные. Их основной недостаток – возможность
получения только частного решения. Следует иметь в виду следующее
обстоятельство. Успех от применения численного метода сильно зависит
от обусловленности задачи, т.е. задача должна быть хорошо обусловлена,
