161
5.6. Пример применения нахождения собственных
значений в экономике
Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид
4,0
2,0
2,0
2
,0
2
,0
5,0
1,0
2,0
1,0
3,0
3,0
3,0
1,0
3,0
4,0
2,0
A
.
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной
бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:
.
6270
4
3
2
1
x x x x
Решение
.
Необходимо найти собственный вектор
x
, отвечающий
собственному значению
1
λ
заданной структурной матрицы
A
, т.е.
решить уравнение
0
x
E
A
, которое в нашем случае имеет вид
0
0
0
0
6,0
2,0
2,0
2,0
2,0
5,0
1,0
2,0
1,0
3,0
7,0
3,0
1,0
3,0
4,0
8,0
4
3
2
1
x
x
x
x
.
Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных
является свободной переменной, остальные выражаются через нее.
Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного
вектора
x
:
c
x
121
140
1
,
c
x
121
146
2
,
c
x
11
20
3
,
c
x
4
.
Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов,
определим величину
c
:
1210
c
.
Откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран
при бездефицитной торговле:
1400
1
x
,
1460
2
x
,
2200
3
x
,
1210
4
x
.
