113
рассматриваемой области
а≤х≤b
изменения
х
,
содержащей узлы
интерполирования, функция
f
(
x
) имеет все производные
f’
(
x
)
, f"
(
x
)
, ...
,f
(n
+1)
(
x
)
до (
n+
1
)
-
гo порядка включительно.
Введем вспомогательную функцию
)(
)(
)( )(
1
x
k xL xf
xu
n
n
,
(4.43)
где
)
)...(
)(
( )(
1
0
1
n
n
x x x x x x
x
и
k
постоянный коэффициент,
который будет выбран далее.
Функция
и
(
х
), очевидно, имеет
п+
1
корень в точках
x
0
,
x
1
, ... ,х
п
.
Подберем теперь коэффициент
k
так, чтобы
и
(
х
) имела (
n+
2)-й корень в
любой, но фиксированной точке
x
отрезка [
а, b
], не совпадающей с
узлами
интерполирования.
Для
этого
достаточно
положить
0 )
(
)
(
)(
1
x
k
x
L x
f
n
n
. Отсюда, так как
0 )(
1
x
n
, то
)
(
)(
)
(
1
x
xL
xf
k
n
n
.
(4.44)
При этом значении множителя
k
функция
и(х)
имеет
п+
2
корня на
отрезке [
а, b
] и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков:
]
,
[ ],...,
,[], ,
[ ],...,
,
[
],
, [
1
1
2 1 1 0
n
n
i
i
x x
x
x
x
x
x
x x x
.
Применяя теорему Ролля к каждому из этих отрезков, убеждаемся, что
производная
и'
(
х
) имеет не менее
п
+1 корня на отрезке [
а, b
]
.
Применив
теорему Ролля к производной
и'
(
х
)
,
мы убедимся, что вторая производная
и"
(
х
)
обращается в нуль не менее
п
раз на отрезке [
а, b
]
.
Продолжая эти
рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом отрезке
[
а,b
] производная
и
(п+
1
)
(
х
)
имеет хотя бы один корень, который
обозначим через ξ, т. е.
и
(
п+
1)
(ξ)=0.
Из формулы (4.43), так как
L
n
(
п+
1)
(
x
)=0 и П
n
+1
(
п+
1)
(
x
)
=
(
n+
1)! имеем:
и
(
п
+1)
(
х
)
= f
(
п+
1)
(
х
)
- k
(
n+
1)!. При
х =
ξ получаем: 0 =
f
(
п
+1)
(ξ)
- k
(
n+
1)!.
Отсюда
)!1
(
ξ
)1 (
n
f
k
n
.
(4.45)
Сравнивая правые части формул (4.44) и (4.45), будем иметь
)!1 (
ξ
)(
)(
)(
)1 (
1
n
f
x
xL xf
n
n
n
,
То есть
)(
)!1 (
ξ
)
(
)
(
1
)1 (
x
n
f
x
L
xf
n
n
n
.
(4.46)
