116
4.13. Простейший подход к сглаживанию
Суть
процедуры сглаживания
состоит в подмене данной функции на
каждом из рассматриваемых отрезков наилучшим линейным
среднеквадратичным приближением.
На первом этапе для таблично заданной функции найти такую
функцию
S(x)
, составленную из линейных функций
( )
i
i
i
i
S х
a b x
x
,
чтобы
i
f x S x
для всех
х
в смысле минимума квадрата отклонений, т.е.
1
2
1
( ) ( )
min
i
k
i
k
k i
f x S x
. В результате решается задача нахождения
коэффициентов
a
i
, b
i
методом наименьших квадратов:
1
1
1
3
i
i
i
i
a
f
f f
,
1
1
1
2
i
i
i
b
f
f
h
.
Второй этап состоит в пересчете данной таблицы
1
1
3
1
i
i
i
i
i
f
f
f
x
S
для
1,
1
i
N
. Доопределим новую табличную функцию значениями
0 0
0
S x f
и
N
N
N
S x
f
. В результате этого получаем новую табличную
функцию, в которой сохраняется характер поведения исходной функции.
Описанная процедура называется
осреднением по трем точкам
и
является простым частным случаем линейного фильтра.
4.14. Кусочно–кубические сплайны
Определение.
Функция
S
(
x
) называется кубическим сплайном, если
существует
N
кубических полиномов
S
k
(
x
) с коэффициентами
s
k
,0
,
s
k,
1
,
s
k
,2
,
s
k
,3
, которые удовлетворяют следующим условиям:
1.
3
3,
2
2,
1,
0,
k
k
k
k
k
k
k
k
x x s
x x
s
x x s s xS
x
S
, для
1
,
k k
x
x x
и
1 ,0
N k
, т.е. кубический сплайн состоит из кубических полиномов.
2. Кусочно-кубическое интерполирование задается совокупностью точек,
т.е.
k
k
S x
y
для
0,
k N
.
3. Кусочно-кубическое представление состояло из кривых, которые
являются гладкими непрерывными функциями. Вторая и первая
производные должны быть непрерывны:
1
1
1
k k
k
k
S x
S
x
,
1
1
1
k k
k
k
S x
S
x
,
1
1
1
k
k
k
k
S x
S
x
.
Наиболее часто на практике используется кубический сплайн
следующего вида:
2
3
3
i
i
i
i
i
i
i
S x a b x
x c x
x d x x
.
Для задания сплайна коэффициенты
i
a
,
i
b
,
i
c
,
i
d
– подбираются так,
чтобы
3
i
i
S x y
, а первая и вторая производные были непрерывными.
