106
ha
y
xP
n
n n
1
1
1
.
Следовательно,
h
y
a
n
1
1
.
Аналогично составив вторую разность от
P
n
(
х
), получим
]2 [
1
2
]1[
2
2
3
2
2
2
1
...
23
!2
n
n
n
n
x xh nna
x xh a h a xP
.
Полагая
х = х
п-
2
,
находим
2
2
2
2
2
2
!2
h
a
y
xP
n
n n
и, таким образом,
2
2
2
2
!2
h
y
a
n
.
Характер закономерности коэффициентов
а
i
достаточно ясен.
Применяя метод математической индукции, можно строго доказать, что
i
n
i
i
hi
y
a
!
1
n
i
,...,
2,1,0
.
(4.21)
Подставляя эти значения в формулу (4.19), будем иметь окончательно
1
0
1
2
2
2
1
...
!
...
!2
!1
x x x x
hn
y
x x x x
h
y
x x
h
y
y xP
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
(4.22)
Формула (4.22) носит название
второй интерполяционной формулы
Ньютона.
Введем более удобную запись формулы (4.22). Пусть
h
x x
q
n
,
тогда
1
1
q
h
h x x
h
x x
n
n
,
2
2
q
h
x
x
n
и т.д.
Подставив эти значения в формулу (4.22), получим:
(4.22’)
Это и есть обычный вид
второй интерполяционной формулы
Ньютона.
Для приближенного вычисления значений функции
у
полагают
y=P
n
(
x
)
.
Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут
быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения
значений функции
y
для значений аргументов
x
, лежащих вне пределов
таблицы. Если
x<x
0
и
x
близко к
x
0
,
то выгодно применять первую
интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда
0
0
h
x x
q
.
Если же
x>x
n
и
x
близко к
x
n
, то удобнее пользоваться второй
интерполяционной формулой Ньютона, причем
0
h
x
x
q
n
.
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно
используется для
интерполирования вперед
и
экстраполирования назад
,
а
