112
Обозначим произведение элементов первой строки через
D
0
, второй -
через
D
1
и т. д. Произведение же элементов главной диагонали (в схеме
эти элементы подчеркнуты), очевидно, будет П
п+
1
(
х
)
.
Отсюда следует, что
i
n
n
i
D
x
x L
)(
)(
1
)(
) ,...2,1 (
n
i
.
(4.39)
Следовательно,
n
i
i
i
n
n
D
y
x
xL
0
1
)(
)(
.
(4.40)
В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут
быть приведены к более простому виду. В самом деле, полагая
x=x
0
+ th
,
будем иметь
t
0
=
0
, t
1
=
1
,..., t
n
=n.
Отсюда
n t
t
t
t
t
2
1
П
1-
n
,
'
1
1
)!
(! )1(
)(
n
n
i
ni
i
.
Подставив эти выражения в формулу (4.38'), получим
i t
C
t
n
t L
i
n
in
n
i
1
П
!
1
1n
n
i
,...,
2,1,0
,
(4.41)
где
!
!
!
i
n
i
n
C
n
i
.
Отсюда
i
n
i
n
i
in
n
n
y
i t
C
t
n
xL
0
1
)1(
)(
!
1
)(
,
(4.42)
где
h
x x
t
0
.
Задача интерполирования в случае постоянного шага
h
облегчается
еще тем, что имеются таблицы для лагранжевых коэффициентов, так что
фактически все вычисления сводятся к умножению табличных
коэффициентов на соответствующие значения функции
y
i
и к
суммированию.
4.10. Оценка погрешности интерполяционной формулы
Лагранжа
Для функции
y = f
(
x
)
мы построили интерполяционный полином
Лагранжа
L
n
(
x
)
,
принимающий в точках
x
0
,
x
1
, ... ,х
п
заданные значения:
y
0
=
f
(
x
0
),
y
1
=
f
(
x
1
) , ... ,
y
n
=
f
(
x
n
).
Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается
к функции
f
(
x
)
в других точках, то есть, как велик остаточный член
R
n
=
f
(
x
)
- L
n
(
x
)
.
Для определения этой степени приближения наложим на функцию
у=f
(
x
)
дополнительные ограничения. Мы будем предполагать, что в
