107
вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот,
для
интерполирования назад
и
экстраполирования вперед.
4.7. Интерполяционные формулы Гаусса
Пусть имеется 2
n+
1 равноотстоящих узлов интерполирования
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
,
,...,
, ,
,...,
,
1
1
0 1
)1 (
,
где
const
1
h
x x
x
i
i
i
(
i
= -
n
, -(
n
-1),…,
n
- 1
),
и для функции
y=f
(
x
)
известны ее значения в этих узлах
y
i
=f
(
x
i
)
(
i
=0, ±1,…, ±
n
).
Требуется построить полином
P
(
x
)
степени не выше
2
n
такой, что
P
(
x
i
)=
y
i
при
i
=0, ±1,…, ±
n
.
Из последнего условия вытекает, что для всех соответствующих
значений
i
и
k
i
k
i
k
y
xP
) (
.
(4.23)
Будем искать этот полином в виде
).
)(
...(
)...
)(
)(
)...(
(
)
)...(
)(
)(
)...(
(
...
...
)
)(
)(
)(
)(
(
)
(
)
)(
)(
(
)
)(
)(
(
)
)(
(
)
(
)(
1
1
0
1
)1 (
2
1
1
0
1
)1 (
2 2
2
1
0
1
2
5
2
1
0
1
4
1
0
1
3
1
0
2
0
1
0
n
n
n
n
n
n
n
x x x x
x x x x x x
x x a x x x
x x x x x
x x a
x x x x x x x x x xa x x
x x x x x xa x x x x x xa x x x xa x xa a
xP
(4.24)
Вводя обобщенные степени, получим
.
)
(
)
(
...
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
]2[
)1 (
2
]1 2
[
)1 (
1
2
]4[
1
4
]3[
1
3
]
2[
0
2
]1[
0
1
0
n
n
n
n
n
n
x x
a
x x a
x xa
x xa
x x
a x xa a xP
(4.25)
Применяя для коэффициентов
a
i
(
i
=0,1,…,2
n
) тот же способ, что и при
выводе интерполяционных формул Ньютона, и, учитывая формулу (4.23),
последовательно находим:
.
)!2(
,
)!1 2
(
,...,
!4
,
!3
,
!2
,
!1
,
2
2
2
1 2
)1 (
1 2
1 2
4
2
4
4
3
1
3
3
2
1
2
2
0
1 0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
hn
y
a
h n
y
a
h
y
a
h
y
a
h
y
a
h
y
a y a
Далее, введя новую переменную
h
x
x
q
0
и сделав соответствующую
замену в формуле (4.25), получим
первую интерполяционную формулу
Гаусса
,
)! 2(
)
)...( 1
(
)!1 2(
)1
)...( 1
(
...
...
!5
)2 )(1 ()1 )(2 (
!4
)2 )(1 ()1 (
!3
)1 ()1 (
!2
)1 (
)(
2
)1 (
1 2
2
5
2
4
1
3
1
2
0
0
n
n
n
n
y
n
nq
nq
y
n
nq
nq
y
q qq q q
y
q
qq q
y
qq q
y
qq
yq
y xP
(4.26)
или короче
