103
становится однозначной, если вместо произвольной функции
F
(
х
) искать
полином
Р
п
(
х
) степени не выше
п,
удовлетворяющий условиям (4.14), т. е.
такой, что
P
n
(
x
0
)=y
0
,
P
n
(
x
1
)=
y
1
, ... ,
P
n
(
x
n
)=
y
n
.
Полученную интерполяционную формулу
y
=
F
(
x
) обычно используют
для приближенного вычисления значений данной функции
f
(
х
) для
значений аргумента
х,
отличных от узлов интерполирования. Такая
операция называется
интерполированием функции f(х).
При этом
различают
интерполирование в узком смысле,
когда
n
x x x
,
0
, т. е.
значение
х
является промежуточным между
х
0
и
х
п
, и
экстраполирование,
когда
n
x x
x
,
0
. В дальнейшем под термином
интерполирование
мы будем понимать как первую, так и вторую
операции.
4.5. Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции
y=f
(
x
)
заданы значения
y
i
= f
(
x
i
)
для
равноотстоящих значений независимой переменной:
х
i
= х
0
+ ih
,
i=
(0, 1,
2,
. . . , п
)
,
где
h
шаг интерполяции.
Требуется подобрать полином
Р
n
(
х
)
степени не выше
п,
принимающий в точках
x
i
значения
P
n
(
x
i
)=
y
i
, i=
(0, 1, 2, . . . ,
п
)
.
(4.15)
Условия (4.15) эквивалентны тому, что
0
0
y
xP
m
n
m
при
n
m
,...
2
,1,0
.
Следуя Ньютону, будем искать полином в виде
1
1
0
1
0
2
0
1
0
...
...
n
n
n
x x x
x
x xa
x x x xa
x x
a a x
P
. (16)
Пользуясь обобщенной степенью, выражение (4.15) запишем так:
][
0
]2[
0
2
]1[
0
1
0
...
n
n
n
x xa
x xa x xa a xP
.
(4.16')
Наша задача состоит в определении коэффициентов
a
i
(
i=
0, 1, 2, . . . ,
п
)
полинома
Р
n
(
х
)
.
Полагая
х = х
0
в выражении (4.16'), получим
P
n
(
x
0
)=
y
0
=
a
0
.
Чтобы найти коэффициент
1
a
,составим первую конечную разность
h x x na
h
x xa
h
x x
a ha
xP
n
n
n
]1 [
0
]2[
0
3
]1[
0
2
1
...
3
2
.
Полагая в последнем выражении
х = х
0
,
получим
ha y
xP
n
1
0
0
, откуда
h
y
a
!1
0
1
. Для определения коэффициента
2
a
составим конечную разность
второго порядка
]2 [
0
2
]1[
0
3
2
2
2
2
1
...
32
!2
n
n
n
x xanh n
x xah
ah xP
.
Положив
х = x
0
,
получим
2
2
0
2
0
2
!2
ah
y
xP
n
, откуда
2
0
2
2
!2
h
y
a
.
