110
j
j
j
j
i
j
n
i
i
n
y yx
p y
xp
x
L
) (
) (
)(
0
) ,...,
1,0
(
n
j
.
Подставив в формулу (4.31) значение
p
i
(
x
) из (4.30), получим
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)(
1
1
1
0
1
1
1
0
0
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
x x
x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
y
xL
.
(4.32)
Это и есть
интерполяционная формула Лагранжа.
Докажем
единственность
полинома Лагранжа.
Предположим противное. Пусть
)
(
x
L
n
полином, отличный от
L
n
(x),
степени не выше
п,
и такой, что
i
i
n
y x
L
) (
.
(
i =
0
,
1, 2, ..
.). Тогда полином
)(
)
(
xL xL Q
n
i
n
n
, степень которого, очевидно, не выше
n,
обращается в
нуль в
п+
1
точках
х
0
,
х
1
, ... ,
х
n
, то есть
Q
n
≡0
. Следовательно,
)(
) (
x
L xL
n
i
n
.
Отсюда, в частности, следует, что если узлы интерполирования
равноотстоящие, то интерполяционный полином Лагранжа совпадает с
соответствующим интерполяционным полиномом Ньютона. Заметим, что
все построенные выше интерполяционные формулы получаются из
интерполяционной формулы Лагранжа при соответствующем выборе
узлов.
Формуле (4.32) Лагранжа можно придать более сжатый вид. Для
этого введем обозначение
)
)...(
)(
( )(
1
0
1
n
n
xx
x
x xx x
.
(4.33)
Дифференцируя по
х
это произведение, получим:
)
)...(
)(
...( )
)(
(
)(
1
1
0
1
0
1
n
j
j
n
j
n
x x
x x x x x x x x
x
.
Полагая
х
=
х
i
(
i =
0, 1, 2, ...), будем иметь
)
)...(
)(
...( )
)(
(
)(
1
1
0
1
0
1
n
i
j
i
j
i
n
j
i
i
n
x x
x x x x x x x x
x
.
(4.34)
Внося выражения (4.33) и (4.34) в формулу (4.32), получим
n
i
i
i
n
i
n
n
x x x
y
x
xL
0
1
1
)
)( (
)(
)(
.
(4.35’)
Следует отметить, что формула Лагранжа содержит явно
y
i
,
что
бывает иногда важно.
Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома
Лагранжа.
При
п=
1 мы имеем две точки, и формула Лагранжа представляет в
этом случае уравнение прямой
у = L
1
(
x
)
,
проходящей через две заданные
точки:
1
0
y
ab
a
x
y
ba
bx
y
,
где
а, b
абсциссы этих точек.
