108
n
n
n
n
n
n
y
n
nq
y
n
nq
y
q
yq y
xP
2
]2[
)1 (
1 2
]1 2[
1
2
]
2[
0
0
)!2(
)1
(
)!1 2(
)1
(
...
!2
)(
, (4.26`)
где
x
=
x
0
+
qh
и
q
[
m
]
=
q
(
q
- 1)…[
q
– (
m
-1)].
Первая интерполяционная формула Гаусса содержит центральные
разности
,...
,
,
,
,
,
3
6
2
5
2
4
1
3
1
2
0
y
y
y
y
y y
Аналогично можно получить
вторую интерполяционную формулу
Гаусса
,
содержащую
центральные
разности
,...
,
,
,
,
,
3
6
3
5
2
4
2
3
1
2
1
y
y
y
y
y
y
Вторая интерполяционная формула Гаусса имеет вид
,
)! 2(
)1
)...( 1
)(
(
)!1 2(
)1
)...( 1
(
......
!4
)1 ()1 )(2 (
!3
)1 ()1 (
!2
)1 (
)(
2
1 2
2
4
2
3
1
2
1
0
n
n
n
n
y
n
nq
nqnq
y
n
nq
nq
y
qq q q
y
qq q
y
q q
yq y xP
(4.27)
или в сокращенных обозначениях
,
)! 2(
)
(
)!1
2(
)1
(
...
...
!4
)2 (
!3
)1 (
!2
)1 (
)(
2
]2[
1 2
]1 2[
2
4
]4[
2
3
]3[
1
2
]2[
1
0
n
n
n
n
n
n
y
n
nq
y
n
nq
y
q
y
q
y
q
yq y x
P
(4.27`)
где
x
=
x
0
+
qh
.
4.8. Интерполяционная формула Лагранжа
Выведенные нами в предыдущих параграфах интерполяционные
формулы пригодны лишь в случае равноотстоящих узлов
интерполирования
[4].
Для
произвольно
заданных
узлов
интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой
интерполяционной формулой Лагранжа
(рис. 4.2 а – рис. 4.2 б)
.
Пусть на отрезке [
а
,
b
] даны
п+
1
различных значений аргумента
x
0
, x
1
,
x
2
, ....
x
n
и известны для функции
у = f
(
x
)
соответствующие значения:
f
(
x
0
)
=y
0
, f
(
x
1
)
=y
1
,…f
(
x
n
)
=y
n
.
Требуется построить полином
L
n
(
x
) степени не выше
п,
имеющий в
заданных узлах
x
0
,
x
1
,
....
х
n
те же значения, что и функция
f
(
x
), т. е. такой,
что
L
n
(
x
i
)
=y
i
(
i =
0, 1, 2, ...,
n
).
