105
При
n=
2 будем иметь формулу
параболического или квадратичного
интерполирования
0
2
0
0
2
2
)1
(
)(
y
qq
yq y x
P
.
Если дана неограниченная таблица значений функции
у,
то число
п
в
интерполяционной формуле (4.18) может быть любым. Практически в
этом случае число
п
выбирают так,
чтобы разность ∆
n
у
i
была
постоянной с заданной степенью точности
. За начальное значение
х
0
можно принимать любое табличное значение аргумента
х.
Если таблица значений функции конечна, то число
п
ограничено, а
именно:
п
не может быть больше числа значений функции
у,
уменьшенного на единицу.
Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы
Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так
как тогда нужные значения разностей функции находятся в
соответствующей горизонтальной строке таблицы.
4.6. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна
для интерполирования функции вблизи конца таблицы. В этом случае
обычно применяется
вторая интерполяционная формула Ньютона.
Выводом этой формулы мы и займемся.
Пусть имеем систему значений функции
) (
i
i
xy y
) ,..., 2,1,0 (
n
i
для
равноотстоящих значений аргумента
ih
x x
i
0
.
Построим интерполирующий полином следующего вида:
1
1
1
2
1
0
...
...
x x x x
x xa
x x
x xa x xa a
xP
n
n
n
n
n
n
n
или, используя обобщенную степень, получаем
][
1
]3[
2
3
]2[
1
2
]1[
1 0
...
n
n
n
n
n
n
x xa
x xa
x x
a x
x
a
a
x
P
.
(4.19)
Наша задача состоит в определении коэффициентов
а
0
, а
1
, a
2
, ....
а
n
таким образом, чтобы были выполнены равенства
i
i
n
y xP
)
,..., 2
,1,0
(
n
i
.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы
i
n
i
in n
i
y
x
P
) ,...,
1,0
(
n
i
.
(4.20)
Положим
х = х
n
в формуле (4.19). Тогда будем иметь
0
a y x
P
n
n n
.
Следовательно,
n
y a
0
.
Далее, берем от левой и правой частей формулы (4.19) конечные
разности первого порядка
]1 [
1
]2[
2
3
]1[
1
2
1
...
3
2
1
n
n
n
n
n
x xnha
x
xh a
x xh a
h a xP
.
Отсюда, полагая
х = х
n-
1
и учитывая соотношения (4.20), будем иметь
