114
Так как
x
произвольно, то формулу (4.46) можно записать и так:
)(
)!1 (
)(
)(
)(
1
)1 (
x
n
f
xL xf
x
R
n
n
n
n
,
(4.47)
где ξ зависит от
х
и лежит внутри отрезка [
а,b
]
.
Отметим, что формула (4.47) справедлива для всех точек отрезка
[
а,b
],
в том числе и для узлов интерполирования.
Обозначая через
)
(
max
)1 (
1
x
f
M
n
bxa
n
, получаем следующую оценку
для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:
)(
)!1
(
)
(
)
(
)
(
1
1
x
n
M
xL
xf
xR
n
n
n
n
,
(4.48)
где
)
)...(
)(
( )(
1
0
1
n
n
x x x x x x x
.
(4.48’)
4.11. Оценки погрешностей интерполяционных формул
Ньютона
Если узлы интерполирования
х
0
, х
1
, . . . , х
п
равноотстоящие, причем
х
i+
1
– х
i
=h
(
i =
0, 1, 2, ... ,
n-
1
), то, полагая
h
x x
q
0
, на основании формулы
(4.48) из предыдущего параграфа получим
остаточный член первой
интерполяционной формулы Ньютона
)1 (
1
)!1 (
)
)...( 1 (
)(
n
n
n
f
n
nq
qq
h xR
,
(4.49)
где ξ
некоторое промежуточное значение между узлами
интерполирования
х
0
,
х
1
, ... ,
х
n
и рассматриваемой точкой
х.
Заметим, что
для случая интерполирования в узком смысле слова
] , [ ξ
0
n
xx
; при
экстраполировании возможно, что
] ,
[ ξ
0
n
xx
.
Аналогично, полагая в формуле (4.47)
h
x x
q
n
, получим
остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона
)1 (
1
)!1 (
)
)...( 1 (
)(
n
n
n
f
n
n
q
qq
h xR
,
(4.50)
где ξ
некоторое промежуточное значение между узлами
интерполирования
х
0
,
х
1
, ... ,
х
n
и точкой
х.
Обычно при практических вычислениях интерполяционная
формула Ньютона обрывается на членах, содержащих такие разности,
