109
а)
б)
4.2. Интерполяция методом Лагранжа (а – общая задача, б – частная
задача)
Решим сначала частную задачу: построим полином
p
i
(
x
)
такой, что
p
i
(
x
j
)
=
0
при
i≠j
и
p
i
(
x
i
)
=
1
(рис. 4.2 б).
Другими словами, эти условия можно записать следующим
образом:
,
,0
,
,1
δ ) (
i j
если
i
j
если
xp
ij
j
i
(4.28)
где δ
ij
символ Кронекера
.
Так как искомый полином обращается в нуль в
п
точках
х
0
,
х
1
, ... ,
х
i
-1
,
х
i
+1
, ... ,
х
n
, то он имеет вид
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
(
1
1
1
0
n
i
i
i
i
x x
x x x
x
x x
x
x
С
xp
,
(4.29)
где
C
i
постоянный коэффициент. Полагая
x = x
i
в формуле (4.29) и
учитывая, что
р
i
(
x
i
)= 1, получим
1 )
)...(
)(
)...(
)(
(
1
1
1
0
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x x
x x x x x x x xС
.
Отсюда находим
)
)...(
)(
)...(
)(
(
1
1
1
1
0
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x x
x x x x x x
x x
C
.
Подставив это значение в формулу (4.29), будем иметь
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)(
1
1
1
0
1
1
1
0
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x x x
x x x x
x
xp
.
(4.30)
Теперь перейдем к решению общей задачи, т.е. к отысканию
полинома
L
n
(
x
)
,
удовлетворяющего указанным выше условиям
L
n
(
x
)=
y
i
.
Этот полином имеет вид
i
n
i
i
n
yxp
x
L
)
(
)(
0
.
(4.31)
В самом деле, во-первых, очевидно, степень построенного полинома
L
n
(x)
не выше
п
и, во-вторых, в силу условия (4.28) имеем
