104
Последовательно продолжая этот процесс, мы обнаружим,
что
i
i
i
hi
y
a
!
0
n
i
,..., 2
,1,0
, где положено
1
!0
и
y y
0
.
Подставляя найденные значения коэффициентов
a
i
в выражение
(4.16'), получим
интерполяционный полином Ньютона
][
0
0
]2[
0
2
0
2
]1[
0
0
0
!
...
!2
!1
n
n
n
n
x x
hn
y
x x
h
y
x x
h
y
y xP
.
(4.17)
Легко видеть, что полином (4.17) полностью удовлетворяет
требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень
полинома
Р
п
(х)
не выше
n,
во-вторых,
0
0
y xP
n
и
1
1
0
0
1
0
2
0
2
0
0
0
...
!
...
!2
k
k
k
k k
k
k
k
k
k n
x x x x x x
hk
y
x
x
x x
h
y
x
x
h
y
y
xP
,
1
!
1...1
...
!2
1
0
0
0
2
0
0
k
k
k
y y
y
k
kk
y
kk
yk
y
где
n
k
,...2,1
.
Заметим, что при
h
→0
формула (4.17) превращается в полином
Тейлора для функции
у
. В самом деле,
0
0
0
0
lim
x y
dx
yd
h
y
k
x
x
k
k
k
k
h
. Кроме
того, очевидно,
n
n
h
x
x
x
x
0
][
0
0
lim
. Отсюда при
h
→0 формула (4.17)
принимает вид полинома Тейлора:
n
n
n
x x
n
x y
x x xy x
y xP
0
0
)(
0
0
0
!
) (
...
) (
)
(
.
Для практического использования интерполяционную формулу
Ньютона (4.17) обычно записывают в несколько преобразованном виде.
Для этого введем новую переменную
q
по формуле
h
x x
q
0
, тогда
).
,..., 2,1 ()1
)...( 2 )(1 (
]
)1 (
[
...
)
( )
(
)
(
0
0
0
][
0
n
i
i q
q qq
h
h i
x x
h
h x x
h
x x
h
x
x
i
i
Подставляя эти выражения в формулу (4.17), получим
0
0
2
0
0
!
)1
)...(
1 (
...
!2
)1 (
)(
y
n
nq
qq
y
qq
yq y
x
P
n
,
(4.18)
где
h
x
x
q
0
представляет собой
число шагов
, необходимых для
достижения точки
x
, исходя из точки
х
0
. Это и есть окончательный вид
первой интерполяционной формулы Ньютона
.
Формулу (4.18) выгодно использовать для интерполирования
функции
у=f
(
х
) в окрестности начального значения
x
0
,
где
q
мало по
абсолютной величине.
Если в формуле (4.18) положить
n=
1, то получим формулу
линейного
интерполирования
0
0
1
)(
y
q y
x
P
.
