117
4.15. Леммы о сплайнах
1.
Смыкающий (чертежный) сплайн.
Существует единственный
кубический сплайн, который имеет первую производную с граничными
условиями
0
D)a
(S
,
N
D)
b
(
S
, т.е. смыкающий сплайн имеет
определенный наклон в крайних точках.
2.
Естественный сплайн.
Существует единственный кубический
сплайн со свободными граничными условиями
0
)a
(
S
,
0
)
b(
S
, т.е.
сплайн допускает свободный наклон на краях для обеспечения
положения, которое минимизирует осцилляцию кривой.
3.
Экстраполяционный
сплайн.
Существует
единственный
кубический сплайн, который используется для экстраполирования по
внутренним узлам, чтобы определить
)a
(S
по узлам
х
1
,
х
2
и
)
b
(
S
по узлам
х
N
-1
,
х
N
-2
.
4.
Сплайн, заканчивающийся параболой.
Существует единственный
кубический сплайн, такой, что
( )
0
S х
на интервале [
x
0
,
x
1
] и
( )
0
S х
на
интервале [
x
N
-1
,
x
N
].
5.
Сплайн с заданной кривизной в крайних точках.
Существует
единственный кубический сплайн с заданными значениями второй
производной в крайних точках.
4.16. Аппроксимация
Пусть
y
является функцией аргумента
x
. Это означает, что любому
значению
x
из области определения поставлено в соответствие значение
y
.
На практике иногда не возможно записать зависимость
y
(
x
) в явном виде.
Вместе с тем, не редко эта зависимость задается в табличном виде. Это
означает, что дискретному множеству значений {
x
i
} поставлено в
соответствие множество значений {
y
i
}, 0
i
m
. Эти значения – либо
результаты расчета, либо набор экспериментальных данных [5].
На практике часто требуется найти некоторую аналитическую
функцию, которая приближенно описывает заданную табличную
зависимость. Кроме того, иногда требуется определить значения функции
в других точках, отличных от узловых. Этой цели служит задача о
приближении (аппроксимации). В этом случае находят некоторую
функцию
(
x
), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной
функции
было
наименьшим.
Функция
(
x
)
называется
аппроксимирующей.
