СИЛА ТРЕНИЯ - page 61

59
Внешние силы, приложенные непосредственно к поверхности тела, яв-
ляющиеся обычно источником деформации, входят в граничные условия к
уравнениям равновесия. Если P - внешняя сила, действующая на единицу
площади поверхности тела, то на элемент поверхности df будет действовать
сила df P

. В состоянии равновесия она будет компенсирована силой упругой
деформации - σik dfk , действующей на тот же элемент поверхности со стороны
внутренних напряжений. Следовательно,
Pi df - σik dfk = Pi df - σik nk df = 0, (2.17)
где n - единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности.
Из (2.17) следует
Pi = σ ik nk. (2.18)
Это условие должно выполняться на всей поверхности находящегося в
равновесии тела.
Определим среднее значение тензора напряжений ‹σik › в деформирован-
ном теле с объёмом V. Умножив (2.15) на xk и интегрируя по всему объёму тела,
получим
( ) ( ) ( ) ( ) σ / σ / σ /
σ σ δ 0.
il l k il k l il k l
il k l il kl
x x dV x x dV x x dV
x df dV
∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ =
= − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫

(2.19)
С учётом (2.17) и значений тензора Кронекера δkl , получим
il k l il kl i k ik i k ik σ x df σ δ dV Px df σ dV Px df σ V 0− = − = −〈 〉 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
   . (2.20)
Следовательно, с учётом (2.12)
( ) ( ) ( )
σ 1/ 1/ 2
ik i k i k k i V Px df V Px P x df 〈 〉 = = + ∫ ∫
  . (2.21)
Очевидно, среднее значение тензора напряжений можно найти, не решая
уравнения равновесия.
2.5. Термодинамика деформирования
Пусть вектор деформации ui деформированного тела изменяется на ма-
лую величину δui . Определим работу, выполняемую при этом силами внутрен-
них напряжений. Поскольку сила, действующая в направлении перемещения
δui, равна Fi = ∂σ ik/∂xk, то работа будет выражаться интегралом по всему объё-
му тела:
∫δAdV = ∫ Fi δuidV = ∫(∂σ ik/∂xk)δuidV = ∫(∂(σik δui)/∂ xk)dV - ∫σik (∂(δui )/∂xk)dV.
( ) ( )
δ σ δ σ δ /
ik i k ik i k AdV udS u x dV = − ∂ ∂ ∫ ∫ ∫
 . (2.22)
Мы воспользовались методом интегрирования по частям и, согласно тео-
реме Остроградского-Гаусса, в первом интеграле перешли к интегрированию по
поверхности S объёма V. δΑ - это работа, выполняемая в единице объёма тела.
В случае безграничного тела, не деформированного в бесконечности, поверхно-
стный интеграл превращается в ноль, поскольку на поверхности σik = 0.
Следовательно, используя симметричность тензора σik = σ ki, для этого
случая получим