156
1 ,
1 ,
1 ,
nn
ni
ni
a
a
b
при
n
i
1
.
Последняя строка построенной матрицы
B
будет удовлетворять
нашим условиям, номатрица
В
не будет подобна матрице
A
, поэтому
проведем еще одно преобразование и получим матрицу
С
, подобную
A
и
сохраняющую последнюю строку:
с
ij
=b
ij
при
i=
1,..,
n-
2
.
c
n-
1
j
=a
n
1
b
1
j
+a
n
2
b
2
j
+ . . . +a
n n
b
n j
при
j=
1,...,
n
.
Таким образом, получили матрицу
С
, подобную
A
, и с последней
строкой, как в матрице
Р
в форме Фробениуса. Далее преобразуем
аналогично
n-
1
строку матрицы
С
и т.д. Допустим, что при
преобразовании матрицы
A
в матрицу Фробениуса
P
мы пришли к
матрице вида
0 1
0
0 0
0 0
1
0 0
1
2
1
2
1 2
2
22
21
1
1 1
1
12
11
kn
kn
kk
k
k
n
n
k
n
n
k
d d
d
d d
d d
d
d d
d d
d
d d
D
,
причем оказалось, что
d
k k-
1
=
0.
Тогда преобразования методом Данилевского нельзя продолжить.
Здесь возможны два случая:
1. Существует элемент
d
kl
, отличный от нуля, где
l<k-
1, тогда
переставляем местами (
k-
1) и
l
столбцы и (
k-
1) и
l
строки и получаем
матрицу, подобную
D,
для которой возможны дальнейшие
преобразования по методу Данилевского.
2. Все элементы
k
строки равны нулю, тогда полученная матрица
имеет вид
2
1
0
D
L D
D
.
Причем
D
2
имеет нормальный вид Фробениуса, а матрицу
D
1
можно
привести к нему методом Данилевского. Полином же, порождающий
собственные значения матрицы
А
, есть произведение аналогичных
полиномов для
D
1
и
D
2
, при этом коэффициенты полинома для
D
2
определены.
5.5. Примеры
Пример 5.1
