154
упрощен советским математиком Фаддеевым. Метод Леверрье основан на
формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения
и заключается в следующем. Пусть
n
n
n
n
p
p
p
E A
...
λ
λ λ )λ
det(
2
2
1
1
характеристический многочлен матрицы
ij
a
A
, и
n
λ ,...,
λ
λ
2 ,1
полная
совокупность корней характеристического многочлена. Рассмотрим
суммы:
k
n
k
k
k
S
λ ...
λ λ
2
1
,
n
k
,..., 2 ,1
,
иначе:
,A
λ ...
λ λ
.
. . . . . . . . . . . . . .
.
. . .
.
,A
λ ...
λ
λ
A,
λ ...
λ λ
n
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
Sp
S
Sp
S
Sp
S
n
n
n
n
n
n
n
(каждая сумма
k
S
есть след матрицы
k
A
). Тогда при
n k
справедливы
формулы Ньютона:
,
...
11
1 1
k
k
k
k
kp Sp
Sp S
откуда получаем:
при
1
k
,
1
1
S p
при
2
k
),
(
2
1
11
2
2
Sp
S
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
при
n k
).
...
(
1
11
2 2
1 1
Sp
Sp Sp S
n
p
n
n
n
n
n
Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена
n
p pp
..., , ,
2 1
можно легко определить, если известны суммы
n
S S
S
,..., ,
2 1
.
Таким образом, схема раскрытия характеристического многочлена
состоит в следующем:
вычисляют степени
);
,..., 2,1
(
1
n
k
A
A
A
k
k
определяют
k
S
суммы элементов главных диагоналей матриц
k
A
;
по вышеприведенным
формулам Ньютона
находят коэффициенты
i
p
.
Видоизмененный метод Леверрье, предложенный Фаддеевым,
заключается в вычислении последовательности матриц
n
A AA
,..., ,
2 1
по
следующей схеме:
