155
.
;
;...;
;
;
;
;
;
;
;
A
. . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. .
.
. . . . . . .
.
;
;
;
;
;
;
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1-n
2
2
2
2
2
1
2
1 1
1
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
SpA
n
n
n
n
n
n
n
SpA
n
SpA
p q p
q p q p q
Eq A B
q
AB A
Eq A B q
AB
Eq A B
q
AB A
EqA B q SpA
A
A
n
n
5.4. Метод Данилевского
Суть метода Данилевского заключается в приведении векового
определителя к так называемому
нормальному виду Фробениуса
:
λ-
0 0 0
.
.
.
.
.
0
λ- 1 0
0
0 λ
1
λ
λ
3
2
1
n
p
p p
p
D
.
Если нам удалось записать вековой определитель в такой форме, то,
разлагая его по элементам первой строки, будем иметь
n
n
n
n n
p
p
p
D
...
λ
λ λ1 λ
2-
2
1
1
.
Таким образом, задача сводится к нахождению матрицы
P
в форме
Фробениуса, подобной матрице
A
, так как собственные числа
инвариантны относительно операции подобия, т.е.
.
0 1
0 0
0 0
0 1
1
2
1
n
n
p p
p p
P
Описанная далее процедура последовательно преобразует строки
исходной матрицы, начиная с последней, к виду, описанному выше, при
этом преобразование осуществляется таким образом, чтобы полученные
матрицы были подобны.
Опишем первое из преобразований, которое приводит
n
-ю строку
исходной матрицы
A
к необходимому виду. Вначале преобразуем
матрицу
A
в матрицу
B
по следующим формулам:
1 ,
1 ,
nn
nj
ni
ij
ij
a
a
a
a b
при
1
;
1
n j n i
,
