152
.
λ
...
...
...
...
...
...
λ
...
λ
)λ
det(
2
1
21
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
a
a
a
a
a a
a
a
a
E A C
В развернутом виде он является многочленом
n
-й степени
относительно
, так как при вычислении этого определителя
произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим
членом
n
n
λ)1(
, т.е.
n
n
n
n
n n
p
p
p
E
A
)1
( ...
λ
λ λ)1
(
)λ
det(
2
2
1
1
,
и
называется
характеристическим многочленом
. Корни
n
λ
,...,
λ,λ
2 1
этого
многочлена –
собственные значения
или
характеристические числа
матрицы
A
.
Числа
n
p p
p
,...,
,
2
1
называются
коэффициентами
характеристического многочлена.
Ненулевой вектор
n
x xx X
,...,
,
2 1
называется
собственным вектором
матрицы A
, если эта матрица переводит вектор
X
в вектор
X
AX
λ
, то
есть произведение матрицы
A
на вектор
X
и произведение
характеристического числа
на вектор
X
есть один и тот же вектор.
Каждому собственному значению λ
i
матрицы соответствует свой
собственный вектор
n
iX
i
,..., 2,1
.
Для определения координат собственного вектора составляется
характеристическое уравнение
0
λ
XE
A
. Переписав его в векторном
виде и выполнив умножение, получим систему линейных однородных
уравнений
.0 )λ ( ...
. .
. . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
. . .
. . . . . . . .
. .
,0
...
)λ (
,0
...
)λ (
,0
...
)λ
(
33
2 2
11
3
3
33
2 32
1 31
2
3 23
2
22
1 21
1
3 13
2 12
1
11
n
nn
n
n
n
n n
n n
n n
x
a
xa
xa
xa
xa
x
a xa
xa
xa
xa
x
a xa
xa
xa
xa
x
a
Определитель этой системы равен нулю, так как из этого условия
были определены собственные значения матрицы
A
. Следовательно,
система имеет бесконечное множество решений. Ее можно решить с
точностью до постоянного множителя (как систему однородных
уравнений). Решив эту систему, мы найдем все координаты собственного
вектора
X
. Подставляя в систему однородных уравнений поочередно
n
2 1
λ
,...,
λ ,
λ
, получаем
n
собственных векторов.
