151
переменных использовал матрицу коэффициентов и вычислял
собственные значения этой матрицы. Коши установил инвариантность
характеристического уравнения и доказал, что каждая симметричная
матрица может быть приведена к диагональному
виду.
Жозеф Лиувилль использовал собственные
значения в исследованиях краевой задачи для
дифференциальных уравнений 2–го порядка.
Жак Шарль Франсуа Штурм обобщил
задачу о собственных значениях при решении
систем
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
За 80 лет до этого Жан Лерон Даламбер,
исследуя системы линейных дифференциальных
уравнений и колебания струны, использовал
собственные значения.
5.1. Математическое обоснование метода
Рассмотрим квадратную матрицу
n
-го порядка:
.
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
a
a a
a
a a
a
a a
A
Собственные значения
i
) ,1 (
n i
квадратной матрицы
A
есть
действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию
0 )λ (
XE A
,
E
– единичная матрица,
n
x x
x
X
,...,
,
2 1
- собственный вектор
матрицы
A
, соответствующий некоторому собственному значению
.
Матрица
E
A
λ
называется характеристической матрицей матрицы
A
.
Так как в матрице
E
по главной диагонали стоят
, а все остальные
элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид
.
λ
...
...
...
...
...
...
λ
...
λ
λ
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
E A
C
Определитель этой матрицы называется
характеристическим, или
весовым определителем
и равен
Жан Лерон Даламбер
(1717 – 1783)
