153
5.2. Метод итераций
Для решения частичной проблемы собственных значений (отыскания
наибольших и наименьших собственных чисел) применяется метод
простой итерации решения систем уравнений
.
λ
X
A X
.
С помощью итерационных методов можно определить наибольшее
по модулю собственное число матрицы
A
без раскрытия определителя.
Итак, пусть
0
λ
det
E
A
характеристическое уравнение;
n
λ ,...,
λ ,
λ
2 1
его корни, являющиеся собственными значениями матрицы
ij
a
A
.
Предположим, что
n
λ ...
λ λ
2
1
, т.е.
1
λ
наибольшее по модулю
собственное число. Тогда для нахождения приближенного значения корня
используется следующая схема:
1)
произвольно выбирают начальный вектор
Y
;
2)
составляют последовательные итерации:
;
,
. . . . . . . . . . . . .
,
,
,
1
1)
(
1
) (
3
2
)3(
2
)2(
)1(
YA YAA Y
YA YAA Y
YA YAA Y
YA AY A Y
AY Y
m
m
m
m
m-
m
3) выбирают из этой последовательности два последних значения и
принимают за наибольшее собственное число следующее
соотношение:
) (
)1 (
lim λ
1
m
i
m
i
y
y
m
,
где
) (
)1 (
,
m
i
m
i
y
y
- соответствующие координаты векторов
) (
)1 (
,
m
m
Y
Y
.
Таким образом, взяв достаточно большой номер итерации
m
, можно с
любой степенью точности вычислить наибольший по модулю корень
1
λ
характеристического уравнения матрицы. Для нахождения этого корня
может быть использована любая координата вектора
) (
m
Y
, в частности,
можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для
разных координат.
5.3. Метод Леверрье-Фадеева
Этот метод относится к группе тех, которые решаются методами
развертывания определителей. Метод был предложен Леверрье и
