100
Отсюда, переходя к пределу при
∆x→
0
и предполагая, что производная
f
(
n
)
(
х
) непрерывна, получим
.
)
(
)(
lim )(
0
)(
n
n
x
n
x
xf
x f
(4.9)
Следовательно, при малых
∆x
справедлива приближенная формула
.
)
(
)(
)(
)(
n
n
n
x
xf
x f
(4.10)
4.2. Таблица разностей
Часто приходится рассматривать функции
y = f
(
x
)
,
заданные
табличными значениями
y
i
=f
(
x
i
) для системы равноотстоящих точек
x
i
(
i =
0, 1,2, . . . ) , где
∆ x
i
=
x
i+
1
- x
i
=h=
const
.
Конечные разности последовательности
y
i
естественно определяются
соотношениями
∆y
i
=
y
i+
1
- y
i
,
∆
2
y
i
=∆
(
∆y
i
) =
∆y
i
+1
- ∆y
i
,
. . .
∆
n
y
i
=∆
(
∆
n-
1
y
i
) =
∆
n-
1
y
i+
1
- ∆
n-
1
y
i
.
Из первого равенства имеем
y
i
+1
= y
i
+∆y
i
=(1
+∆
)
y
i
.
Отсюда последовательно выводим
y
i
+2
=
(1
+∆) y
i
+1
=(1
+∆
)
2
y
i
,
y
i
+3
=
(1
+∆
)
y
i+2
=(1
+∆
)
3
y
i
,
. . .
y
i+n
=
(1
+∆
)
n
y
i
.
Использовав формулу бинома Ньютона, получим
.
...
2
2
1
i
n
i
n
i
n
i
n
i
y
y C y
C y
y
Обратно, имеем
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
i
n
i
n
y
y
C y
C y
y
y
)1(
...
) 1(
) 1(
) 1(
]1) 1
[(
2
2
1
1
,
или
i
n
in n
in
n
in
i
n
y
y
C yC
y
y
)1
( ...
2
2
1
1
.
Например,
∆
2
y
i
= y
i+
2
-
2
y
i+
1
+y
i
,
∆
3
y
i
= y
i+
3
-
3
y
i+
2
+
3
y
i+
1
-
y
i
и т.д.
Заметим, что для вычисления
n
-й разности
∆
n
y
i
нужно знать
п
+ 1
членов
y
i
, y
i+
1
, ... , y
i+n
данной последовательности.
