99
n
m
mm
n
x
f
C x
nxf
0
)
(
)
(
,
(4.4)
где
!
)]1 (
)...[ 1 (
m
m n
n
n
C
m
n
число сочетаний из
n
элементов по
m
.
Таким образом, с помощью формулы (4.4) последовательные
значения функции
f
(
х
) выражаются через ее конечные разности
различных порядков.
Воспользовавшись тождеством
1
)
1(
(4.5)
и применяя бином Ньютона, получаем
). ( )1(
...
)(
) 1(
)(
) 1(
)( )
1( )( ]1) 1[( )(
2
2
1
1
x
f
xf
C xf
C xf
xf
xf
n
n
n
n
n
n
n
n
Отсюда в силу формулы (4.3) будем иметь
).
( )1( ... ] )2
(
[
] )1 (
[
)
(
)(
2
1
xf
x
n x
fCx n x
fC
x
nxf
x
f
n
n
n
n
(4.6)
Формула (4.6) дает выражение конечной разности
п-
го порядка
функции
f
(
х
)
через последовательные значения этой функции.
Пусть функция
f
(
х
)
имеет непрерывную производную
f
(
n
)
(
x
)
на отрезке
(
х , x+n∆x
)
.
Тогда справедлива формула
∆nf
(
x
)
=
(
∆x
)
n
f
(
n
)
(
x +
θ
n∆x
),
(4.7)
где
0
<
θ
<
1
.
Формулу (4.7) проще всего доказать, используя метод
математической индукции. В самом деле, при
п =
1
мы получаем теорему
Лагранжа о конечном приращении функции и, следовательно, формула
(4.7) верна. Пусть теперь при
k < п
имеем
∆kf
(
x
)
=
(
∆x
)
k
f
(
k
)
(
x +
θ
’ n∆x
),
где 0<θ’<1.
Тогда
)].
θ (
) θ
( [
) ( )] ( )
(
[
)(
)(
)(
1
xk x f
xk x
x f
x
xf
x x
f
x
f
k
k
k
k
k
Применяя теорему Лагранжа к получившемуся приращению
производной
f
(
k
)
(
x
)
, будем иметь
∆k
+
f
(
x
)
=
(
∆x
)
k+
1
f
(
k+
1)
(
x +
θ
’k∆x+
θ
”∆x
)
, где
0 < θ
”
< 1
. Полагая
θ
1
θ θ
k
k
,
(4.8)
окончательно получим
∆k
+1
f
(
x
)
=
(
∆x
)
k+1
f
(
k+
1)
(
x+
θ(
k+
1)
∆x
)
, причем,
очевидно, 0 <θ< 1.
Таким образом, установлен переход от
k
к
k+
1
и, следовательно,
формула (4.7) доказана.
Из формулы (4.7) имеем
.
) (
)
(
) θ
(
)(
n
n
n
x
xf
xn
x
f
