98
4.1. Конечные разности различных порядков
Пусть
y=f
(
x
)
заданная функция. Обозначим через
h
x
фиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение
)x(f )x x(
f )x
(f
y
(4.1)
называется
первой конечной разностью
функции
у
. Аналогично
определяются
конечные разности высших порядков ∆
n
y =∆
(
∆
n
-1
y
)
(
n
= 2, 3, . . . ) .
Справедливо утверждение: если
P
n
(
x
)
= a
0
x
n
+ a
1
x
n-
1
+ ... + a
n
полином
n
-й степени, то
∆
n
Р
n
(x) = n!a
0
h
n
=
const
, где
∆x = h
.
Действительно, имеем
∆ P
n
(
x
)
= P
n
(
x+h
)
- P
n
(
x
)
= a
0
[(
x+h
)
n
- x
n
]
+ a
1
[(
x+h
)
n-
1
- x
n-
1
]
+ ... +
+ a
n-
1
[(
x + h
)
– h
].
Раскрыв по биному Ньютона круглые скобки, легко убедиться, что
∆P
n
(
x
)
представляет собой полином (
п-
1)-й степени:
∆P
n
(
x
)
= b
0
x
n
-1
+ b
1
x
n
-2
+ ... + b
n-
1
,
где
b
0
= nha
0
.
Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что вторая разность
∆
2
P
n
(
x
) есть полином (
п -
2)-й степени:
∆
2
P
n
(
x
)
= c
0
x
n-
2
+ c
1
x
n-
3
+ ... + c
n-
2
,
причем
с
0
= (
n
- 1)
hb
0
=
n
(
n
- 1)
h
2
a
0
.
Проводя последовательно аналогичные рассуждения, мы, в конце
концов, установим, что
∆nP
n
(
х
)
= n!a
0
h
n
=
const
. Как следствие получаем
∆s Р
п
(
х
)
=
0
при
s
>
п
.
Символ
∆
(дельта) можно рассматривать как
оператор,
ставящий в соответствие функции
y = f
(
x
)
функцию
∆y = f
(
x + ∆x
)
– f
(
x
)
(
∆x
постоянно). Легко проверить основные свойства
оператора
∆
:
1)
∆(
u
+
v
) = ∆
u
+∆
v
,
2)
∆(
Cu
) =
C
∆
u
(
С
постоянная),
3)
∆
m
(∆
ny
) = ∆
n
+
my
,
где
т
и
п
целые неотрицательные числа, причем по определению
полагают
∆nу
=
у.
Из формулы (4.1) имеем
f
(
x + ∆x
)
= ∆f
(
x
)
+ f
(
x
).
Отсюда, рассматривая
∆
как символический множитель, получим
f
(
x + ∆x
)
=
(1
+∆
)
f
(
x
).
(4.2)
Последовательно применяя это соотношение
п
раз, будем иметь
f
(
x +n ∆x
)
=
(1
+∆
)
n
f
(
x
).
(4.3)
Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, окончательно выводим
