97
4. Аппроксимация и интерполяция функций
В
вычислительной
математике
существенную роль играет интерполяция
функций (термин интерполирование впервые
употребил Дж. Валлис в 1656 г. при составлении
астрономических
и
математических таблиц),
то есть построение по
заданной функции другой
(как
правило,
более
простой),
значения
которой совпадают со
значениями
заданной
функции в некотором числе точек. Причем
интерполяция имеет как практическое, так и
теоретическое значение.
На практике часто возникает задача о
восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям,
например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления
многих функций оказывается эффективным приблизить их полиномами
или дробно-рациональными функциями, для этого используют
интерполяционный многочлен Лагранжа, который был предложен
в 1797 г. в связи с решением задач дифференциального исчисления;
интерполяционную формулу Ньютона, которая была впервые
опубликована в «Методе разностей» (1711 г.). Также применяют
кубический сплайн – это функция, являющаяся сравнительно новым
математическим изобретением. Сплайн моделирует старое механическое
устройство. Чертёжники издавна использовали длинные тонкие рейки из
какого-нибудь упругого материала в качестве лекал, проводя с их
помощью плавные кривые через заданные точки. Эти рейки или
механические сплайны закрепляют, подвешивая грузила в точки
интерполяции, называемые исторически узлами.
Теория интерполирования используется при построении и
исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для
получения методов решения дифференциальных и интегральных
уравнений.
Дж. Валлис
(1616 – 1703)
Жозеф Луи Лагранж
(1736 – 1813)
