120
5.3. Трение вращающегося цилиндра
с тормозной колодкой
В классической механике, если заданы начальные положения и скорости
элементов механической системы, а также влияющие на них активные и пас-
сивные (определяемые как реакции идеальных связей) внешние силы, процесс
должен развиваться по единственно возможному и заранее известному пути.
Это означает, что значения реакций связей
R
-
, которые определяют развитие
процесса после его начала и в ходе его осуществления, также должны одно-
значно определяться начальными условиями. При изучении сил трения сколь-
жения возможны ситуации, когда заданный набор начальных значений пара-
метров не обеспечивает однозначный (единственный) путь развития процесса.
Существование такого критического набора начальных значений параметров,
когда сила трения может принять произвольное значение, не соответствует на-
шим представлениям о детерминизме в классической механике. То есть процесс
оказывается не программируемым заранее, и конкретный путь развития выби-
рается самим процессом в ходе его осуществления. Это кажется парадоксаль-
ным.
5.3.1. Парадоксы Пэнлеве
В 1895 году П. Пэнлеве [5] первым обнаружил, что для системы тел с су-
хим трением задача определения реакции может не иметь решения или иметь
несколько решений. То есть начальные условия недостаточны для единственно-
сти решения. В начале ХХ века многие европейские учёные изучали этот во-
прос, в том числе и приват-доцент Московского университета Е.А. Болотов [6].
Рассмотрим задачу о взаимодействии вращающегося цилиндра (колеса) с
тормозной колодкой (физические величины обозначены в основном, как в рабо-
те [7]). Такое взаимодействие возникает при работе различных тормозных сис-
тем и шлифовальных машин. На рис. 31 приведена схема прямоугольной тор-
мозной колодки (тело
В
) и цилиндра (тело
А
) радиуса
r
, вращающегося с угло-
вой скоростью
ω
вокруг неподвижной оси
O
1
. Если считать тела абсолютно
твёрдыми, то при отсутствии каких либо других внешних сил (
P
= 0), условие
равновесия колодки имеет вид
a T
–
b N
= 0, (5.6)
где
a
и
b
– плечи линий действия сил трения скольжения
T
=
f
c
aN
и нор-
мальной реакции цилиндра
N
относительно оси
O
2
. Из условия односторонно-
сти связи следует, что реакция
N
должна быть направлена перпендикулярно к
поверхности цилиндра в сторону колодки в точке их касания, то есть
N
≥ 0. (5.7)
Для вращения тела
A
имеем
I
w
d
ω/
dt
= -
rT
, (5.8)
где
I
w
- момент инерции колеса относительно оси
O
1
. Поскольку имеет место
трение скольжения, запишем равенство (5.6) в виде
