55
ГЛАВА 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Всестороннее и глубокое изучение процесса трения твёрдых тел невоз-
можно без теории упругости. Силы трения возникают из-за упругой, вязко-
упругой (упруго-пластической) и других видов деформации трущихся поверх-
ностей тел (см. гл. 5).
Рассмотрим теорию упругости в области линейной зависимости деформа-
ции от напряжений, когда справедлив закон Гука.
Следует подчеркнуть, что упругие деформации практически всегда под-
чиняются закону Роберта Гука, поскольку неупругость материалов (пластич-
ность) появляется уже при малых (линейных) деформациях. Исключением яв-
ляются некоторые синтетические материалы (резина и т. д.).
В настоящей главе стиль изложения и обозначения соответствуют работе
[35].
Для того, чтобы решить контактные задачи теории упругости, такие, как
определение продолжительности времени столкновения двух упругих шаров
произвольных радиусов [12] или определение размеров области соприкоснове-
ния и распределения давления в ней при сдавливании двух твёрдых тел, необ-
ходимо будет привести некоторые сведения из высшей геометрии.
2.1. Симметричный тензор деформации
Пусть в заданной декартовой системе координат (жёстко связанной с
твёрдым телом)
r
и
r
′
- радиус-вектора определённой точки тела до и после
его деформации соответственно. Вектором деформации (смещения) называют
вектор
u r r
′= −
или в проекциях
i
i
i
u x x
′= −
(значения i = 1, 2, 3 относятся к
координатным осям x, y, z соответственно). Для заданных значений напряже-
ний (приложенных сил), вызывающих деформации, вектор
r
′
зависит от век-
тора
r
. Поэтому вектор
u
тоже является функцией от
r
. Если задана функция
( )
u u r
=
, то полностью определена деформация тела.
Если
dx
i
- радиус-вектор между двумя бесконечно близкими точками до
деформирования, то радиус-вектор между теми же точками в деформированном
теле будет
i
i
i
dx dx du
′= +
. Квадраты расстояний между выбранными точками до
и после деформирования будут соответственно
2
2
2
2
1
2
3
2
i
dl dx dx dx dx
= + + ≡
;
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
i
i
i
i
i
i
i
dl dx dx dx dx dx du dx dxdu du
′
′
′
′
′
= + + ≡ = + = +
+
.
Полный дифференциал
(
)
/
i
i
k
k
du u x dx
= ∂ ∂
.
Здесь и далее по всем дважды повторяющимся в данном выражении ин-
дексам подразумевается суммирование по значениям
i
= 1, 2, 3.
Следовательно,
(
)
(
) (
)
2 /
/
/
2
2
i
k
k i
i
k
k
i
l
l
dl dl + u x dx dx u x dx u x dx
′ =
∂ ∂
+ ∂ ∂
∂ ∂
.
Поскольку
