50
1.
При ламинарном движении есть постоянная, зависящая только от формы
поперечного сечения трубы.
2.
При турбулентном движении есть некоторая функция от числа Рейнольд-
са (Re), явный вид которого устанавливается эмпирически.
Выражение (1.100) в гидродинамике и аэродинамике иногда представ-
ляют в виде
(
P
1
–
P
2
)/
l
=
λ
(Re)
ρ
‹
v
›
2
/(2
a
), (1.101)
где
λ
(Re) = 2/(π Re C(Re)). (1.102)
1.5.6. Устойчивость ламинарного вращательного движения
Рассмотрим условия устойчивости ламинарного движения жидкости меж-
ду двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами. При больших значени-
яхчисла Рейнольдса, то есть при больших скоростях, когда возникает турбу-
лентность, роль вязкости незначительна. При отсутствии сил трения во вра-
щающейся жидкости нет тангенциальных напряжений. Зависимость скорости
частицы жидкости от её расстояния до оси вращения
v
=
v
(
r
) может быть про-
извольной. Однако даже ничтожная вязкость приведёт к вполне определённому
распределению скоростей вдоль радиуса от оси вращения, а именно, - к зависи-
мости (1.76). Для выяснения устойчивости такого движения не требуется знание
явного вида зависимости
v
=
v
(
r
). В установившемся невозмущённом потоке
частицы жидкости движутся по окружностям с угловой скоростью
ω(
r
) =
v
(
r
)/
r
.
На частицу жидкости с массой
m
, находящейся на расстоянии
r
0
от оси вра-
щения, влияет центростремительная сила:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
4
3
2
3
0
0 0
0 0
0
0
0
ω
ω /
/
F m r r m r r mr L r mr
=
=
=
(1.103)
Она создаётся разностью давлений окружающей жидкости. Величина
L
(
r
0
)
является моментом импульса частицы жидкости относительно оси вращения.
Движение жидкости будет устойчивым, если при произвольном отклонении
частицы от равновесной окружности радиуса
r
0
возникнут силы, которые вер-
нут её обратно на равновесную траекторию. Пусть отклонение происходит в на-
правлении от оси (
r
>
r
0
) или к оси (
r
<
r
0
) вращения. Поскольку сила, вызываю-
щая такое отклонение, имеет нулевой момент относительно оси вращения, то
она не вызовет изменение момента импульса рассматриваемой частицы жидко-
сти. Чтобы удержаться на новой орбите
r
>
r
0
на эту частицу должна влиять
центростремительная сила:
( )
( )
2
3
0
0
/
F L r mr
′=
.
Однако на расстоянии
r
от оси вращения влияет сила другого значения
F
=
L
2
(
r
)/(
m
r
3
)
и, если
( )
( )
0
0
F F , L r L r
′ >
>
,
то частица вернётся назад на начальную орбиту.
При
r
<
r
0
частица вернётся назад на начальную орбиту, если
( )
( )
0
0
F F , L r L r
′ <
<
.
