47
Интегрируя (1.82), получаем
v
(
r
) = -
r
2
(
P
1
–
P
2
)/(4
η
l
) +
C
. (1.83)
Постоянная интегрирования
C
, определяемая из условия, что на стенке
трубы скорость движения равна нулю, будет
C
=
R
2
(
P
1
–
P
2
)/(4
η
l
). (1.84)
Окончательно
v
(
r
) = (
R
2
-
r
2
) (
P
1
–
P
2
)/(4
η
l
) =
v
(0)(1 - r
2
/
R
2
). (1.85)
Скорость меняется по параболическому закону при удалении от оси ци-
линдра и максимальна на оси цилиндра:
v
(0) ≡
v
0
=
R
2
(
P
1
–
P
2
)/(4
η
l
). (1.86)
Ежесекундный поток массы жидкости по трубе (расход жидкости) будет
( )
(
)( )
4
2
2
1 2
0
0
ρ 2π ρπ
8η ρπ / 2 ρπ
R
Q= v r rdr= R P P l
R v
R v
−
=
=
∫
(1.87)
Здесь использована формула (1.86) и определение средней скорости. Со-
отношение (5.33) получено экспериментально в 1839 г. Гагеном и в 1840 г.
Жан Пуазейлем в виде зависимости
Q
=
k
ρ
R
4
(
P
1
–
P
2
)/
l
.
Выражение для коэффициента
k
= π/(8
η
) было впоследствии установлено
Джорджем Стоксом. Полученная таким образом формула (1.87) называется за-
коном Пуазейля. Она справедлива только для ламинарного движения.
Кинетическая энергия жидкости, ежесекундно протекающей по трубе
( ) ( )
( )
2
3
ρ π πρ
R
R
0
0
K= v r v r rdr
v r rdr
=
∫
∫
. (1.88)
С учётом (1.85) и (1.87) после интегрирования равенства (1.88) получим
(
) ( )
(
)
2
2
3
3
8
1 2
0
πρ
/ 8η
/ 2
K= R P P l
Q v
Q v
−
=
=
. (1.89)
Работа за секунду над жидкостью силами разности давлений будет
( )
( )(
)
1
1 2
0
0
2π
R
R
A= v r dF v r P P rdr
=
−
∫
∫
. (1.90)
С учётом (1.87) получим
(
)
(
)
( )
(
)
1 2
1 2
0
/ ρ ρ 2π
/ ρ
R
A= P P v r rdr Q P P
−
= −
∫
. (1.91)
Эта работа полностью тратится на преодоление сил вязкого трения. При
стационарном движении кинетическая энергия жидкости постоянна. С учетом
равенства (1.86) работа сил трения
A
΄ за секунду (мощность) принимает вид
(
)
(
)
( )
2
1 2
0
/ ρ
4η /
ρ
A = A= Q P P Q v l
R
′ − − − =−
(1.92)
При выполнении неравенства
K
/
A΄
=
v
0
R
2
/(16
l
η
/
ρ) >> 1
влиянием сил трения по сравнению с силами инерции можно пренебречь.
Иногда вместо
η
используется коэффициент кинематической вязкости
υ =
η
/
ρ
, размерностью [м
2
/сек.].
Формулу Пуазейля можно использовать для измерения вязкости
η
:
